Всякое количество равно своей половине


Доказательство. Пусть a и b — два равных количества: а =b. Умножим обе части этого равенства на а:

a2
= аb.

Теперь уменьшим на b2 и левую и правую части равенства. Получившиеся разности а2—b2
и аb—b2 тоже будут равными:

а2 — b2 = ab — b2.

Разложим на множители:

(а+b)(а — b) = b (а — b).

Делим обе части равенства на а—b, после чего получается такое равенство:

a + b = b.

Так как b=а, то в последнем равенстве можем заменить b через а, тогда а+а=а, или 2а=a. Разделив на 2, получим а=a/2, а это значит, что целое равно своей половине (?).

Внешне, или, как говорят, формально все правильно, а по существу где-то в приведенных выкладках есть дефект. Вы, конечно, были внимательны и заметили, в какой части преобразований имеется изъян (?).

«Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю. Математическая теория уделяет много внимания свойствам целых чисел и законам, управляющим действиями над ними. Так вот, если ограничиться множеством одних только целых (положительных и отрицательных) чисел, то опять-таки «капризничает» только одно действие: деление. Оно, как вы знаете, не всегда выполнимо в области целых чисел. Принято считать так, что целое число а делится на целое число b, если среди целых же чисел найдется такое число с, произведение которого на b дает точно число а; если же такого числа нет, то а не делится на b.

Все эти особенности деления и способствовали возникновению таких понятий, как простые числа, наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное (НОК), признаки делимости чисел, а постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел.

Полагаю, что работа над задачами этой главы в некоторой мере увеличит запас ваших школьных представлений о делимости чисел, а может быть и побудит вас к систематическому изучению всей теории чисел.

Загрузка...