Заполнение какой-либо фигуры словами, как это требуется в кроссвордах, можно заменить заполнением свободных клеток этой фигуры числами, подбирая их в соответствии с указанными требованиями.
—
Начальная цифра искомого числа должна быть помещена в нумерованную клетку, а последняя его цифра — в последнюю клетку строки или столбца, или перед препятствием, изображаемым на рисунках жирной чертой или заштрихованной клеткой. Числа здесь, как и слова в кроссвордах, читаются по горизонтали (слева направо) и по вертикали (сверху вниз). В каждую клетку может быть вписана только одна цифра.
Вот несколько примерных задач на пересечение чисел:
Задача 1. Заполнить все клетки квадрата (рис.) числами, удовлетворяющими следующим требованиям:
По горизонтали
1. Разность между числом, состоящим из четырех последовательных цифр и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке (обращенное число).
4. Число с последовательно возрастающими цифрами.
6. Произведение двух чисел: № 3 по вертикали и № 8 по горизонтали.
8. Простое число, т. е. такое, которое делится только на 1 и на себя.
9. Кратное числу 13.
По вертикали
1.Куб одной из цифр числа в № 1 по горизонтали.
2.Последние три цифры совпадают с последними цифрами произведения двух чисел: № 1 по горизонтали и № 7 по вертикали.
3.Частное от деления № 6 на № 8—оба го горизонтали.
5. Состоит из трех последовательных цифр.
7. Произведение множителя числа № 3 по вертикали на множитель числа № 1 по горизонтали.
—
Как и в кроссвордах, решение следует начать с наиболее очевидного условия. Так, например, небольшой расчет позволит точно ответить на вопрос № 1 по горизонтали. Так как обращенное число по смыслу условия меньше первоначального, то, очевидно, цифры первоначального числа составляют убывающую последовательность:
а, а—1, а — 2, а — 3.
Считая эти буквы цифрами, запишем четырехзначное число арифметическим способом:
[a-1][a-2][а-3].
Найдем разность между этим числом и обращенным:
—-
а — 3 единиц меньше а единиц; займем десяток, раздробим его в единицы;
тогда (10+а — 3) — а —7. Десятков было а — 2, один заняли, значит, осталось их а — 3, меньше чем а — 1. Займем сотню, раздробим ее в десятки;
тогда (10 + а — 3) — (а — 1) = 8.
Сотен осталось ровно столько, сколько требуется вычесть, значит, на месте сотен будет нуль, а на месте тысяч а — (а — 3) = 3. Окончательно:
—
—
Вписываем это число в первую строку данного квадрата (рис.).
Теперь нетрудно ответить и на вопрос № 1 по вертикали. По условию в этой вертикали должен находиться куб какого-либо из трех чисел: 3, 7 или 8. Подходит 343 (куб числа 7). Условию вопроса № 4 по горизонтали, очевидно, удовлетворяет число 4567. Теперь выяснилось и число для № 3 по вертикали.
Остальные числа подберите самостоятельно.
Задача 2. Заполнить все клетки квадрата (рис. 184) числами, удовлетворяющими следующим требованиям:
По горизонтали
1. Число, у которого все цифры различны, причем нет цифр, общих с числом № 8 по горизонтали, у которого в свою очередь тоже все цифры различны.
5. Наибольший множитель числа № 3 по вертикали.
7.Обращение числа № 3 по вертикали.
8.См. № 1 по горизонтали.
9.Одна девятая суммы чисел № 1 и № 8 по горизонтали.
12. Произведение трех двузначных простых чисел, два из которых являются множителями обращенного числа № 6 по вертикали.
По вертикали
1.Первая цифра равна сумме остальных двух.
2.Год второй половины восемнадцатого века.
3.Разность между числами № I и № 8 по горизонтали.
4.Последняя цифра числа является произведением его первых двух цифр.
6. Обращенное число является кратным числу № 3 по вертикали и состоит из трех двузначных простых множителей.
9. Один из множителей обращенного числа № 6.
10. То же, что № 5 по горизонтали.
11. Наименьший множитель числа № 3 по вертикали.
Задача 3. Заполнить незаштрихованный клетки квадрата, изображенного на этой странице, числами, удовлетворяющими следующим требованиям:
По горизонтали
1. Квадрат некоторого простого числа.
5.Половина числа, являющегося общим наибольшим делителем чисел № 10 и №11 по вертикали.
6.Куб некоторого квадратного числа.
8. Результат извлечения квадратного корня из числа № 1 по горизонтали.
10. Квадрат некоторого числа. Является симметричным числом, т. е. таким, которое одинаково читается как слева направо, так и справа налево.
13.На 1 больше числа № 9 по вертикали.
14.В пять раз больше, чем число № 8 по горизонтали.
15.Квадрат числа, на 1 большего, чем № 13 по горизонтали.
По вертикали
1. На 8 единиц меньше наименьшего целого числа, дающего при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 соответственно остатки
1.2, 3, 4 и 5.
2.Сумма его цифр равна 29.
3.Простое число.
4.Простое число, являющееся множителем числа № 11 по вертикали.
7. Учетверенное произведение одной десятой числа № 15 по горизонтали на число № 13 по горизонтали.
9. Удвоенное число № 4
по вертикали.
10.Обращенное число № 11 по вертикали.
11.Квадратный корень из числа № 10 по горизонтали.
12.Кратное наибольшему множителю числа № 13 по горизонтали.
Б. ФОКУСЫ
Основной темой арифметических фокусов является угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь «секрет» этих фокусов в том, что «отгадчик» знает и умеет использовать особые свойства чисел, а «задумывающий» этих свойств не знает.
Математический интерес каждого фокуса и заключается в «разоблачении» его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы.
Проверить выполнимость каждого фокуса можно на любом примере, но для обоснования большинства арифметических фокусов удобнее всего прибегнуть к алгебре. На первых порах вы можете опустить «доказательства» фокусов и ограничиться лишь усвоением их содержания для показа своим друзьям. Но и доказательства не затруднят тех, кто любит размышлять и знаком с начатками алгебры.
Здесь дается только основной каркас фокусов, так как их практическое оформление может быть различным в зависимости от условий и места, а также от вашего вкуса, остроумия и выдумки.
