276. От противного


Представьте себе, что имеются два утверждения, А и Б, взаимно исключающие друг друга. Из них справедливо, конечно, только какое-нибудь одно. Предположим, требуется доказать справедливость утверждения А.

Вместо непосредственного, прямого доказательства справедливости утверждения А прибегают иногда к косвенному доказательству, то есть доказывают, что противоположное утверждение Б несправедливо, так как приводит к противоречию с достоверными фактами. Этот метод рассуждений, называемый доказательством от противного, широко применяется в геометрии, в школьном курсе алгебры, иногда в арифметике. Однако его с успехом можно применять не только для доказательства теорем, но даже для решения задач.

Рассмотрим применение метода рассуждений от противного на примере такой задачи.

Сумма двух чисел 75. Первое из них на 15 больше второго. Способом рассуждения от противного доказать, что второе число равно 30.

Решение. Предположим, что второе число не равно 30, тогда оно либо больше 30, либо меньше 30. Однако, если и трое число больше 30, то первое больше 45 и сумма их больше 75, что противоречит условию. Если же второе число меньше 30, то первое меньше 45 и сумма их меньше 75, что также противоречит условию.

Следовательно, второе число равно 30.

Следующие 2 задачи решите рассуждением от противного.

Задача 1. Произведение двух целых чисел больше 75. Доказать,  что  хотя бы   один   из  сомножителей

больше 8.

Задача 2. Произведение некоторого двузначного числа 5 — тоже двузначное число. Доказать, что первая цифра данного множимого есть 1.

Загрузка...