Из костей домино можно составлять не только окошки и рамки, но и сплошные квадраты, да еще «волшебные».

Если неповторяющиеся числа расположены в форме квадрата так, что суммы чисел в каждом ряду как горизонтальном, так и вертикальном и в каждой из двух диагоналей будут одинаковы, то такой квадрат чисел называется «волшебным» или «магическим».

Так, например, из всех семи бланшей (так называют кости домино, на одной или на обеих половинках которых нет очков) и еще двух костей (1-6 и 2-6) очень легко составить волшебный квадрат (см. рисунок) с постоянной суммой 12.

Примечание. В этом и других волшебных квадратах, составленных из костей домино, строкой, столбцом и диагональю считается полоса, охватывающая соответствующий ряд плиток (как показано на рисунке).

Для изображения волшебного квадрата-домино удобнее такая запись:

1-6         0-0         0-5

0-2         0-4         0-6

0-3         2-6         0-1

Или в числах

7   0        5

2   4        6

3   8        1

Любопытно заметить, что числа очков взятых девяти костей представляют собой 8 первых чисел натурального ряда и нуль!

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

К задаче 203. Девять первых чисел натурального ряда.

Если же взять 9 костей, числа очков которых будут девятью первыми членами ряда натуральных чисел, например такие, как на рисунке выше, то из них можно составить волшебный квадрат с постоянной суммой 15 (см. рисунок на следующей странице).

Аналогичные квадраты можно построить из костей, содержащих все двойки или тройки, или четверки, и еще двух соответственно подобранных костей. Константы (постоянные суммы) этих квадратов будут 18 или 21, или 24.

Можно сконструировать волшебные квадраты из большего числа костей: из 16, 25 и т. д.; при этом допускается употребление повторяющихся чисел.

В качестве примера приведем схему волшебного квадрата, составленного из 16 костей домино с постоянной суммой 18:

2-6         1-2         1-3         0-3

1-4         0-2         3-6         1-1

0-5         1-5         0-1         0-6

0-0         2-5         0-4         1-6

Он   составлен из костей, содержащих все  нули, все единицы, и еще трех костей: 2-5; 2-6; 3-6.

Сумма очков в каждом столбце, каждой строке и диагонали этого квадрата равна 18. Некоторые из костей содержат по равному чису очков, например 1+4 = 0+5 (первый столбец), 2+5=1+6 (последняя строка) и т. д.

Полученный   квадрат   обладает  еще тем интересным свойством, что в нем можно первый столбец передвинуть на четвертое место или верхнюю строку перенести вниз, и опять-таки получится волшебный квадрат. Если в этом квадрате все кости, содержащие нули и единицы, заменить костями, число очков которых больше на одно, на два или на три, то опять получим волшебные квадраты. Наконец, если в любом из таких квадратов каждую кость заменим дополнительной костью, то опять получим волшебный квадрат.

Как видите, домино дает богатый материал для упражнений с волшебными квадратами. Решите теперь следующие задачи.

Кости домино называются дополнительными, если числа очков в квадратах одной кости дополняют до шести числа очков в квадратах другой кости. Таковы, например, кости 2-3 и 4-3, или 1-2 и 5-4 и т. д. В комплекте из 28 костей есть 4 кости, которые дополняют сами себя: 0-6;  1-5; 4-2 и 3-3.

Задача 1. Составьте волшебный квадрат с постоянной суммой, равной 21, из девяти костей, данных на рис.

Задача 2. Подберите 9 костей домино, числа очков которых образуют последовательность 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12, и составьте из них волшебный квадрат. Какова константа (постоянная сумма) этого квадрата?

Задача 3. Подберите 16 костей домино с такими числами очков: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5. 6. 6. 7, 7, 8, 8, 9 и 10 и составьте из них волшебный квадрат.

Задача 4. Составьте волшебный квадрат с постоянной суммой, равной 27, из следующих 25 костей: 0-0, 0-1, 0-2, 1-1, 0-3, 1-2, 0-4, 2-2, 3-1, 3-2, 4-1, 5-0, 1-5, 6-0, 4-2, 3-3, 1,6, 3-4, 2-5, 2-6, 3-5, 4-4, 4-5, 6-3, 6-4.