Юным конструкторам радиоприемников и всякого рода летающих и плавающих моделей знакомы затруднения, связанные с необходимостью построения правильного пяти-, семи — или девятиугольника. Циркуль и линейка здесь недостаточны для точного построения, но вы можете сами изготовить несложный механизм, пригодный для построения любого правильного n-угольника от n = 5 до n= 10.
Механизм состоит из подвижных стержней или планок, образующих два равных параллелограмма ABFG и ВСНК (рис. 135). Стержень DE прикреплен к ползункам D и Е, свободно перемещающимся: D вдоль AG и Е вдоль ВК. Размеры стержней таковы, что АВ = ВС=СD = DЕ.
При любом изменении положения D на АG и Е на ВК параллелограммы АВFG и ВСНК остаются равными; остаются равными также и трапеции АВСD и ВСDЕ, обеспечивая тем самым при любом положении стержней также и равенство углов n-угольника, четырьмя последовательными сторонами которого всякий раз будут АВ, ВС, СD и DЕ, а внутренними углами /_АВС, /_ВСD и /_СDЕ. Такое соединение двух шарнирных параллелограммов при достаточной их длине дает возможность единообразным приемом механически строить любой правильный n-угольник от n = 5 до n= 10.
Для построения квадрата, конечно, нет нужды в этом механизме, но получился бы и квадрат, если бы можно было практически совместить Е с A. Практические способы построения правильных n-угольников для n = 5, 6, 7, 8, 9 и 10 при помощи шарнирного механизма основаны на следующих свойствах соответствующих многоугольников:
а) /_ DOB = 90° у пятиугольника (рис. 136, а);
б) /_ЕАВ=90° у шестиугольника (рис. 136, б);
в) /_ЕОВ = 90° у семиугольника (рис. 136, в);
г) /_ЕВА = 90° у восьмиугольника (рис. 136, г);
д) /_ЕАВ=60° у девятиугольника (рис. 136, д);
е) /_DАВ=36° у десятиугольника (рис. 136, е).
Для вычерчивания при помощи шарнирного механизма правильных n-угольников в случае n = 5, 6, 7 или 8 следует предварительно построить прямые углы У1 ОХ, Y 2 AX. Y 3 OX. Y 4 OX. затем наложить механизм стержнем АВ на прямую АВ, совмещая (соответственно чертежам а — г) либо точки О, либо точки В.
Далее, прижав к бумаге стержень А В, следует вращать остальные стержни до совпадения О с прямой ОY1 (для пятиугольника) или до совпадения Е с прямой АY2 (для шестиугольника), или до совпадения Е с ОY3 в (для семиугольника) и, наконец, до совпадения Е с BУ4 (для восьмиугольника).
Для вычерчивания правильных n-угольников в случае n = 9 или 10 следует предварительно построить лучи АY5 и AY6 так так, чтобы /_У5АХ=60°, а /_ Y6AX=36°, затем наложить механизм стержнем АВ на прямую АВ, совмещая точки А, и, прижав к бумаге стержень АВ, вращать остальные стержни до совпадения Е с АY5 (для девятиугольника) или до совпадения D с АY6 (для десятиугольника). Жестко закрепив механизм в нужном положении, мы получим 4 последовательные стороны (и 5 вершин) искомого n-угольника. Имея 4 стороны n-угольника, нетрудно достроить его весь последовательным поворачиванием «шаблона», образованного закрепленными стержнями.
Очевидно, что длина каждого построенного n-угольника будет равна длине стержня АВ. Если понадобится многоугольник иного размера, то его можно получить подобным преобразованием построенного многоугольника.
Теоретически построение точно, практически же точность построения будет определяться степенью аккуратности изготовления прибора.
Описанный механизм может быть изготовлен из дерева или легкого металла.
Задача. Вы, конечно, умеете делить угол пополам, пользуясь циркулем и линейкой. Так вот, сообразите, как построить угол в 1°, пользуясь сначала описанным шарнирным механизмом, а затем циркулем и линейкой.
