Если отказаться от требования составить многоугольник из наименьшего числа подобных ему фигур, то можно указать любопытный прием решения таких задач путем использования ломаных линий одинаковой формы.
Возьмем клетчатую бумагу и каждую клетку назовем единичным квадратом. В качестве данного многоугольника сначала будем иметь в виду такой, который может быть составлен из единичных квадратов. Обозначим каждый такой многоугольник буквой Р, а соответствующий подобный многоугольник — буквой Р`.
Построим квадрат, содержащий в себе произвольное число единичных квадратов. Разумеется, это число кратно четырем (4 и). Из центра этого квадрата вдоль сторон единичных квадратов, по направлению к одной из его сторон проведем какую-нибудь ломаную линию, затем из той же центральной точки, под прямым углом к первой ломаной линии, проведем вторую ломаную такой же конфигурации, как первая. Из той же центральной точки, под прямым углом ко второй ломаной линии, проведем такую же третью ломаную, а под прямым углом к третьей — четвертую (например, как на рисунке).
Эти ломаные разрежут квадрат на 4 равные фигуры, каждую из которых будем считать многоугольником Р.
Если в каждую фигуру Р входит n единичных квадратов, то, следовательно, из n больших квадратов наверняка можно составить многоугольник Р’. А так как в одном большом квадрате 4 фигуры P, то, следовательно, многоугольник Р’ может быть составлен из 4n фигур Р.
———
Таким образом, например, из четырех больших квадратов, изображенных на рисунке а на этой странице, а это значит из 16 заштрихованных многоугольников Р, легко составить многоугольник Р’, подобный многоугольнику Р.
Для образования многоугольников, подобных девятиклеточным многоугольникам Р, изображенным на рисунке б на этой же странице, достаточно) 36 фигур Р.
Предложенный способ составления многоугольников Р’, подобных данным Р, обеспечивает нас некоторым достаточным количеством первоначальных фигур Р. Если же все фигуры Р вырезать из образовавшего их квадрата, то есть разъединить их между собой и пользоваться ими независимо, то для составления многоугольника Р’ может оказаться необходимым меньшее число фигур Р.
Этот прием можно распространить и на многоугольники, составленные из равных равносторонних треугольников(типа в на рисунке к 194 задаче).
Готовой бумаги, разграфленной на равносторонние треугольники, обычно не хватает, поэтому заблаговременно и аккуратно приготовим её сами. Обозначения примем те же.
Построим теперь большой треугольник (рис.), содержащий в себе произвольное, но кратное трем число единичных равносторонних треугольников (Зn). Из центра этого треугольника по направлению к его сторонам проведем вдоль сторон единичных треугольников 3 ломаные линии так, чтобы углы между ними были по 120° и все они имели одинаковую конфигурацию (например, как на рис. 134). Эти ломаные разрежут треугольник на 3 равные фигуры, каждую из которых будем считать первоначальным многоугольником Р.
Если в каждую фигуру Р входит я единичных треугольников, а 3 фигуры Р составляют большой треугольник, то из я таких больших треугольников легко составить Р’ (фигуру, подобную многоугольнику Р), то есть для составления фигуры Р’ достаточно (см. подстрочное примечание на стр. 126) З n фигур Р.
Теперь ответьте на следующие вопросы:
1) Какое число многоугольников Р, изображенных на рисунке б, является достаточным для составления подобного многоугольника Р? Опытным путем проверьте, является ли это число фигур Р наименьшим
возможным.
2) Какие еще многоугольники Р можно образовать при помощи ломаных линий из такого квадрата,
как на рис. 133, б, и из такого треугольника, как на рисунке?
Если вам понравился изложенный здесь прием составления многоугольника из подобных ему фигур, то подумайте, как этот прием применить для образования первичных многоугольников не из квадрата, а из прямоугольника.
