Вот что увидел Миша Герасимов. Его старший брат Игорь взял игрушечный деревянный кубик и так искусно его распилил, что в сечении получился правильный шестиугольник (см. рисунки а, б), потом карандашом провел отрезки, соединяющие вершины шестиугольника через одну,— получилась шестиконечная звезда.

А)                              Б)                                В)

В треугольных промежутках между лучами звезды (незаштрихованные треугольники на рисунке б) Игорь ножиком срезал тонкий слой дерева, на звезду наклеил резиновую пластинку, аккуратно обрезал ее по контуру звезды и сказал:

— Штамп готов.

Мише это понравилось, и он как художник стенной газеты своего класса решил, что ему очень полезно было бы иметь точно такой же штамп пятиконечной звезды.

Он знал, что пятиконечную звезду можно изготовить таким же способом из правильного пятиугольника (рис. в). С этой целью Миша тоже взял кубик из своего строительного материала и стал пытаться распилить его так, чтобы в сечении получился правильный пятиугольник. Но Мишу постигла неудача.

Как он ни пытался одним разрезом кубика получить правильный пятиугольник, ничего не выходило. Получались правильные треугольники разных размеров, получались квадраты и правильные шестиугольники, причем уже только одного размера, а пятиугольника — ни одного.

Долго Миша бился, перепилил все кубики из своего строительного материала, но так и не понял — то ли он не может смекнуть, как надо разрезать кубик, то ли вообще невозможно получить правильный пятиугольник в сечении куба плоскостью.

А все потому, что Миша Герасимов еще не так много занимался геометрией и пока не обладал нужным геометрическим мышлением.

Надо помочь Мише разобраться в следующих вопросах:

1.            Может ли в сечении куба плоскостью получиться правильный пятиугольник?

2.            Как надо распилить кубик, чтобы в сечении получился правильный треугольник или правильный шестиугольник?

3.            Можно ли в сечении куба плоскостью получить правильный многоугольник с числом сторон, большим чем 6?