1. f0(x1, x2) = 0 — константа нуль.
2. f1(x1, x2) = x1^x2 — конъюнкция (функция И, логическое умножение) х1 и х2. Обозначается: х1^ х2, х1 & x2, x1x2.
3. f2 (x1, x2) = x1 x2 = = = — левая коимпликация, читается “не если х1, то х2”.
4. f3 (x1, x2) = x1
5. f4 (x1, x2) = x1?? x2= = = -правая коимпликация, читается “не если х2, то х1”.
6. f5 (x1, x2) = x2
7. f6 (x1, x2) = x1 ? x2 = = — сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ, функция неравнозначности, неэквивалентности).
8. f7 (x1, x2) = x1 ?? x2 – дизъюнкция (функция ИЛИ, логическое сложение).
9. f8 (x1, x2) = x1 ? x2= x1 x2 = = — функция Вебба или стрелка Пирса.
10. f9 (x1, x2) = x1? x2 = = — функция эквивалентности, равнозначности.
11. f10 (x1, x2) = — отрицание, функция НЕ, логическое отрицание.
12. f11 (x1, x2) = x1 ? x2 = — правая импликация, “если х2?? то х1”.
13. f12 (x1, x2) = — отрицание.
14. f13 (x1, x2) = x1? x2 = — левая импликация “если x1, то x2”.
15. f14 (x1, x2) = x1?x2 = = — функция (штрих) Шеффера.
16. f15 (x1, x2) = 1 — константа единица.
В f3 и f12 х2 — фиктивная. В f5 и f10 — х1 — фиктивная переменная.

Свойства булевых операций

1) Ассоциативность:
х1 (х2 х3) = (х1 х2) х3
х1 ?? (x2 ?? x3) = (x1?? x2)???x3
2) Коммутативность:
х1 х2 = х2 х1
х1 ?? x2 = x2?? x1
3) Дистрибутивность:
x1 (x2 ?? x3) = x1 x2 ?? x1 x3
x1 (x2 x3) = (x1 ?? x2) (x1?? x3)
4) Идемпотентность:
х1 х1 = х
х?? x = x
5) Двойное отрицание:
= х

6) Cвойства констант:
х 1 = x
x 0 = 0
= 1
x?? 0 = x
x ?? 1 = 1
= 0
7) Законы де Моргана:
= ??
=
8) Закон противоречия:
х = 0
9) Закон “исключенного третьего”
x?? = 1

Эквивалентные преобразования в булевой алгебре и новые соотношения.

1) поглощение
х ?? xy = x
x (x ?? y) = x
2) склеивание
(x ?? y) (x ?? ) = x; xy ?? x = x
xy ?? x = x (y ?? ) = x 1= x
3) обобщенное склеивание
xy ? xz ?? y = xz ?? y
x ?? y = x ?? y
x ( ?? y) = x y

1. x1 x2 = = = — левая коимпликация.
2. x1?? x2 = = = — правая коимпликация.
3. x1 ? x2 = = — сложение по модулю 2.
4. x1 ? x2= x1 x2 = = — функция Вебба или стрелка Пирса.
5. x1? x2 = = — функция эквивалентности.
6. x1 ? x2 = — правая импликация, “если х2?? то х1”.
7. x1?x2 = — левая импликация “если x1, то x2”.
8. x1?x2 = = — функция (штрих) Шеффера.
9. x1?x2 =