Задача 1. Необходимо построить крытый склад для хранения груза. Склад состоит из определенного числа площадок, каждая площадка обеспечивает одновременное хранение одной партии. Если на складе в момент поступления очередной партии груза, нет свободных площадок, груз на хранение не принимается (заявка на хранение, получает отказ).
Годовой a грузооборот простого склада a=(91000+100N) тонн. Количество дней 365. Средний вес груза в одной партии g=500 тонн. Средняя погрузка на площадь склада d=0,65 т/м2. Средний срок хранения груза (партии) tобсл=10 м.
Определить полезную площадь склада (количество необходимых площадок с вероятностью не менее 95%) обеспечивающую заданный грузооборот.
Инструкция: Свести задачи к СМО с отказами и рассчитать характеристики такой системы, оценив эффективность функционирования склада. Для этой задачи число каналов – число площадок на складе, которые нужно построить. Необходимо определить количество площадок (число каналов), при котором вероятность отказа Pотк?0,05. Интенсивность обслуживания (выходящего потока) ?=(91000+100N)/(500*365). Интенсивность обслуживания (выходящего потока), т.е. сколько партий в единицу времени обслуживает одна площадка ?=1/tобсл.
Начальное число n0=[???]. Построить граф для n0 и n – конечного. ?=a/(g*365).
Задача 2 (СМО с ограниченной очередью). На оптовую базу прибывает автомашины с товаром. Установлено, что за 1 час на базу в среднем прибывает 6 автомашин. Во дворе базы может поместиться 10 машин, включая и те которые находятся под разгрузкой. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет (1,5+0,02N) часов. На базе имеется 3 бригады грузчиков, каждая из которых разгружает одновременно только одну машину. Определить характеристики системы, сколько j бригад следует иметь на базе, чтобы среднее время ожидания автомашин в очереди сократить на 25%.
Задача 3 (СМО с неограниченной очередью). В микрорайоне города необходимо открыть магазин самообслуживания. По предварительным оценкам среднее число покупателей приходящих в магазин в течение часа составляет (120+N) человек (входной поток). Кассир может обслужить (40-0,5N) чел/час. Определить: какое минимальное число касс необходимо иметь в магазине, чтобы вероятность появления очередей не превышала 0,3. Какие характеристики будет иметь система при найденном числе касс.
Задача 1
Дано: Q=91300, d=0.65 т/м2, tобсл=10, Ротк?0.05, ?=(91000+100*3)/(500*365)?0.5, ?=1/tобсл=1/10=0.1, n0=5.
Возможны следующие состояния системы:

X0 – все 5 каналов не работают;
X1 – 1 канал занят, 4 свободны;
X2 – 2 канала заняты, 3 свободны;
X3 – 3 канала заняты, 2 свободны;
X4 – 4 канала заняты, 1 свободен;
X5 – все 5 каналов заняты;

Граф состояний системы:

Находим вероятности состояний:
(?1% времени все 5 каналов свободны);

Вероятность отказа: Pотк=0,284645;
Вероятность обслуживания: Робсл.=0,715354;
Абсолютная пропускная способность склада: А=?Робсл.=0,3574813 парт/день;
Среднее число занятых площадок: (в среднем 3 площадки будут постоянно заняты, а 2 — простаивать);
Среднее число свободных площадок: ;
Коэффициент загрузки: ;
Коэффициент простоя: ;
?71% времени каждая площадка занята;
?29% времени каждая площадка простаивает.
Найдем количество площадок, при котором вероятность отказа Pотк.?0.05.
n Ротк.
5 0.284645
6 0.1918473
7 0.1205186
8 0.0700478
9 0.037457
Т.о. необходимо построить склад с число площадок n=9. Граф состояний для n=9 приведен ниже:

Полученная площадь склада:
P0=0.0069594;
P1=0.0347972;
P2=0.086993;
P3=0.1449886;
P4=0.1812357;
P5=0.151236;
P6=0.1510298;
P7=0.1078784;
P8=0.064454;
P9=0.0374577;
Pобсл.=0.9625422;
A=0.4812711;
=4.712711;
=4.187289;
=0.5347457;
;
Грузооборот: 175 пар/год.

Ответ: склад с число площадок равным 9 обеспечивает заданный грузооборот.
Задача 2
На оптовую базу прибывает автомашины с товаром. Установлено, что за 1 час на базу в среднем прибывает 6 автомашин. Во дворе базы может поместиться 10 машин, включая и те которые находятся под разгрузкой. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет 1,56 часов. На базе имеется 3 бригады грузчиков, каждая из которых разгружает одновременно только одну машину. Определить характеристики системы, сколько j бригад следует иметь на базе, чтобы среднее время ожидания автомашин в очереди сократить на 25%.
Дано: ?=6 машин/час, n=3, m=7, tобсл=1,56, ?=?tобсл.=9,36.
Возможные состояния системы:

X0 – все 3 канала свободны;
X1 – 1 канал занят, 2 свободны;
X2 – 2 канала заняты, 1 свободен;
X3 – 3 канала заняты;
X4 – 3 канала заняты, 1 заявка в очереди;
X5 – 3 канала заняты, 2 заявки в очереди;
X6 – 3 канала заняты, 3 заявки в очереди;
X7 – 3 канала заняты, 4 заявки в очереди;
X8 – 3 канала заняты, 5 заявок в очереди;
X9 – 3 канала заняты, 6 заявок в очереди;
X10 – 3 канала заняты, 7 заявок в очереди.

Граф состояний системы:

Определим характеристики системы:
(т.е. 3 канала все время заняты);

P1=0.000018;
P2=0.0000834;
P3=0.0002568;
P4=0.000791;
P5=0.0024365;
P6=0.007504;
P7=0.023113;
P8=0.0711901;
P9=0.02192657;
P10=0.675338;

Pобсл.=0,32466 (т.е. ?67% машин получают отказ и 32% разгружаются);
A=1.94797 (т.е. ?2 машины разгружаются в единицу времени);
=2.999874 (т.е. 3 канала постоянно заняты);
=0,0001256;
=0,9999581 (т.е. 99.9% времени все 3 бригады заняты);
=0,000041882;
Средняя длина очереди: (т.е. ?6 машин находятся в очереди)
Среднее время ожидания в очереди: ч. (т.е. каждая машина ?1.1 ожидает разгрузки);
Среднее время пребывания заявки в системе: (т.е. каждая машина находится на базе 2 ч.).

Определяю количество бригад, необходимое на базе для сокращения среднего времени ожидания на 25%, т.е. для обеспечения =0,75?1,086591=0,81494325:
n

3 1.086591
4 0.8741205
5 0.6501966
Ответ: для сокращения среднего времени ожидания автомашины в очереди на 25% на базе следует иметь 5 бригад.
Задача 3
В микрорайоне города необходимо открыть магазин самообслуживания. По предварительным оценкам среднее число покупателей приходящих в магазин в течение часа составляет 123 человек (входной поток). Кассир может обслужить 41.5 чел/час. Определить: какое минимальное число касс необходимо иметь в магазине, чтобы вероятность появления очередей не превышала 0,3. Какие характеристики будет иметь система при найденном числе касс.
Дано: ?=123 машин/час, ?=41.5; tобсл= 0,0241, ?=?tобсл.= 2,96. Т.к. в системах с неограниченной очередью стационарный режим существует только при выполнении неравенства ?/n<1, то в качестве начального значения можем взять n=4.
Граф состояний системы является бесконечным:

При n=4 вероятность появления очереди: 1-(P0+P1+P2+P3+P4)=0.43909>0.3. Следовательно, увеличиваем число касс. При n=5 вероятность появления очереди равна 0.1672. Следовательно, минимальное число касс, которое необходимо иметь в магазине, чтобы вероятность появления очереди не превышала 0.3, равно 5. Определим характеристики системы при n=5.
Определим характеристики системы:
(т.е. 4% времени все кассы свободны);
P1=0.126754;
P2=0.197940;
P3=0.206068;
P4=0.160808;
P5=0.100503;

Ротк=0;
Pобсл.=1;
A=?=123 (т.е. за 1 час магазин обслуживает 123 человека);
Среднее число занятых касс: =3.1231;
Среднее число свободных касс: =1.8768 (т.е. в среднем 3 кассы постоянно заняты, а 2 простаивают);
Коэффициент загрузки: =0,62464 (т.е.62% времени каждая касса занята);
Коэффициент простоя: =0,34536 (т.е. 37% времени каждая касса свободна);
Средняя длина очереди: (т.е. очереди почти небывает);
Среднее время ожидания в очереди: ч.?22 минуты (в среднем 13 секунд каждый покупатель ожидает обслуживания);
Среднее число заявок в системе: (в среднем 4 покупателя постоянно находятся в очереди).
Среднее время пребывания заявки в системе с учетом ожидания и обслуживания: мин (т.е. ?1.7 минут каждый покупатель находится в магазине).