320. СТАРОЕ И НОВОЕ О ДЕЛИМОСТИ НА 7


Почему-то число 7 очень полюбилось народу и вошло И его песни и поговорки:

Семь раз примерь, один раз отрежь.

Семь бед, один ответ.

Семь пятниц на неделе.

Один с сошкой, а семеро с ложкой.

У семи нянек дитя без глазу.

Было у тещеньки семеро зятьев…

Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости. Два признака делимости на 7 (в объединении с другими числами) вы уже знаете. Имеется также несколько индивидуальных признаков делимости на 7.

Выбирайте для себя любой, какой покажется наиболее интересным из следующих:

Первый признак делимости на 7. Возьмем для испытания число 5236. Запишем это число следующим образом:

102 ∙ 5+102 ∙ 2+10 ∙ 3+6

(так называемая «систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3:

Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.

Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7.

Доказательство. Пусть
цифры последовательных разрядов m-значного числа N, тогда N=

P=

Вычтем из первого выражения второе:

N – P =

На основании формул можно утверждать, что все двучлены в скобках делятся на 10—3 = 7. Следовательно, если при этом вычитаемое Р делится (не делится) на 7, то и уменьшаемое N делится (не делится) на 7, а также, если уменьшаемое N делится (не делится) на 7, то и вычитаемое Р делится (не делится) на 7.

Видоизменение первого признака делимости на 7. Умножьте первую слева цифру испытуемого числа на 3 и прибавьте следующую цифру; результат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. Для упрощения после каждого действия разрешается из результата вычитать 7 или число, кратное семи.

Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.

Пример. Определим делимость числа 48 916 на 7. Умножаем первую слева цифру на 3:

4 X 3=12.

Для дальнейших расчетов число 12 можно заменить числом 5, которое получается от уменьшения 12 на 7. Заменяя число а числом Ь, которое отличается от а на 7 или на число, кратное семи, будем ставить между ними значок =. Запись первого действия примет вид 4 X 3  = 12= 5. Затем прибавляем к 5 вторую цифру 8 и снова делаем соответствующую замену:

Окончательный результат 7. Следовательно, число 48 916 делится на 7.

Преимущество этого правила в том, что оно легко применяется в уме. Разберитесь теперь в его доказательстве.

Доказательство. Пусть

Действуя в соответствии с правилом,  получаем по­следовательно:

Найдем разность чисел N и Р:

N–P=

Так как т — число целое, положительное (число цифр), то все биномы в скобках делятся на 10—3 = 7 (гм. формулы (***) и замечание 4 на стр. 254). Следова­тельно, делимость числа Р на 7 связана с делимостью числа N на 7.

Замечание. Любопытно, что окончательный результат, уменьшенный на 7 или на 14, показывает остаток от де­ления данного числа N на 7. Проверьте!

Второй признак делимости на 7. В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать не с крайней левой цифры данного числа, а с крайней правой и умножать не на 3, а на 5.

Пример. Делится ли на 7 число 37 184?

4X5=20 = 6,   6 + 8=14 = 0,    0∙5 = 0,    0+1=1, 1 X 5 = 5; прибавление цифры 7 можно пропустить; 5Х5 = 25==4,   4 + 3 = 7 = 0.   Число  37 184 делится на 7,

Доказательство. Пусть

Действуя в соответствии с указанным признаком, полу­чаем последовательно:

Умножим обе части последнего равенства на 10m–1 и из полученного результата вычтем N:




Все двучлены в скобках делятся на 50—1 — 49, значит и на 7, но 10m–1 не делится на 7. Следовательно, делимость на 7 числа N связана с делимостью на 7 числа Р.

Третий признак делимости на 7, Этот признак менее легок для осуществления в уме, но он тоже очень интересен.

Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7.

Проверьте этот признак на числах, а кто пожелает, тот сам выполнит и доказательство. Для числа общего вида оно, правда, несколько затруднительно, поэтому выполните его хотя бы для числа четырехзначного или пятизначного.

Доказательства трех следующих довольно любопытных теорем вы найдете в решениях, но прежде попытайтесь выполнить их самостоятельно.

Теорема 1. Если какое-либо двузначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, увеличенное на цифру десятков данного числа.

Например, 14 делится на 7, следовательно, делится на 7 и число 41 + 1.

Теорема 2. Если какое-либо трехзначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, уменьшенное на разность цифр единиц и сотен данного числа.

Пример 1. Число 126 делится на 7. Следовательно, делится на 7 и 621 — (6—1), то есть 616.

Пример 2. Число 693 делится на 7. Следовательно, делится на 7 и 396 — (3—6), то есть 399.

Загрузка...