На оптовую базу прибывают автомашины с товаром. Установлено, что каждый час на базу в среднем приезжает 6 автомашин. Во дворе базы может поместиться 10 автомашин, включая и те, что находятся под разгрузкой. Среднее время разгрузки одной машины 1 час. На базе имеется 3 бригады грузчиков, каждая из которых разгружает одну машину. Оценить эффективность функционирования базы. Сколько бригад требуется иметь на базе, чтобы среднее время ожидания машины в очереди сократить на 25% ?

Решение. Рассмотрим систему массового обслуживания с ограниченной очередью, для которой:

l = 6 (маш./час); n = 3; = 1 (час); m = 7;

r = l = 6 ·1 = 6;

Возможные состояния системы.

Х₀ – канала свободны,

Х₁ – 1 канал занят, 2 свободны,

Х₂ – 2 канала заняты, 1 свободен,

Х₃ – 3 канала заняты,

Х₄ – 3 канала заняты, одна заявка в очереди,

Х₅ – 3 канала заняты, 2 заявки в очереди,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Х₁₀ – 3 канала заняты, 7 заявок в очереди.

Машина, приезжающая на базу, когда все три бригады заняты разгрузкой и семь машин находится в очереди, покидает базу неразгруженной.

Граф состояний системы.

Найдем значение вероятности P₀ :

0,01% времени все три канала свободны.

Вероятность отказа:

Вероятность обслуживания:

? 0,5

Из 100 машин, 50 будут разгружены и 50 получат отказ и поедут на другую базу.

Абсолютная пропускная способность системы:

3 машины будут разгружены.

Среднее число занятых каналов:

3 канала постоянно заняты и все 3 бригады постоянно заняты разгрузкой товаров.

Коэффициент загрузки канала:

99.9% времени каждая бригада занята работой и 0,2% времени простаивает. Среднюю длину очереди найдём по формуле:

Приблизительно 6 машин ждут разгрузки.

Среднее время ожидания в очереди:

; (час)

Каждая машина около часа ожидает разгрузки.

Среднее время пребывания заявки в системе:

?1,5(часа)

Каждая машина находится на базе полтора часа. Сократим время ожидания на 25%:

? 45(мин)

Найдём необходимое число бригад.

Пусть n=4 ; m=6 ; .

Тогда:

? 0,000556

?0,71<

Ответ. Для того, чтобы среднее время ожидания машины в очереди сократить на 25%, необходимо иметь на базе 4 бригады грузчиков.