Рассмотрим СМО, состоящую из конечного числа n однотипных обслуживающих каналов. Требование, заставшее все обслуживающие приборы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ждёт, пока его не обслужит один из освободившихся каналов.

Как обычно, будем предполагать, что входящий поток требований является пуассоновским с интенсивностью ?, а продолжительность обслуживания каждым каналом подчиняется показательному закону с параметром ?.

Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т.е., если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, она покидает систему необслуженной.

Возможные состояния системы будут:

X₀ – все каналы свободны;

X₁ – занят один канал, остальные свободны;

………………………………………………………..

X_К – заняты К каналов, остальные свободны;

………………………………………………………..

X_n – заняты все n каналов;

X_n+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;

……………………………………………………….

X_n+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди;

………………………………………………………..

X_n+m – заняты все n каналов, m заявок стоят в очереди.

Граф cостояний имеет вид (рис. 2.2) :

Переход в состояние с большими номерами вызывается только потоком поступающих заявок с интенсивностью ?, тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие n одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания, равной ? для каждого канала. С появлением очереди интенсивность обслуживания более не увеличивается, так как она уже достигла максимума, равного n?. Наш граф описывает процесс «гибели и размножения». Изучим стационарный режим для этого СМО. Напишем выражения для предельных вероятностей СМО, полагая ?=?/?:

(2.3)

……………. …………………..

т.е.

1?k?n

n<k?n+m

Из условия P₀+P₁+……+P_n+m=1 найдём P₀:

или, суммируя подчёркнутые члены как члены геометрической прогрессии со знаменателем ?/n?1 , получим:

(2.4)

Далее найдём основные характеристики для СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m заявок.

Поскольку очередь ограничена, то поступившие заявки получат отказ, если все места в очереди заняты.

Тогда:

1.

2. Относительная пропускная способность q или вероятность обслуживания P_обс.:

P_обс.=q=1-P_отк.

3. Абсолютная пропускная способность:

A=?q

4. Среднее число занятых каналов:

5. Среднее число незанятых каналов:

Коэффициент загрузки (использования) каналов:

,а

Коэффициент простоя:

6. Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди):

7. Среднее число заявок в системе, т.е. средняя длина очереди плюс число занятых каналов :

8. Среднее время ожидания заявки в очереди:

9. Среднее время пребывания заявки в системе:

Пример 2.2: В магазине самообслуживания установлены 2 кассы. Поток покупателей, прибывающих в магазин имеет интенсивность ?=2 (человека в минуту). Среднее время обслуживания покупателя t_обс=2мин. Будем считать, что длина очереди ограничена величиной m=3 (покупателя). Покупатель, прибывший в магазин, когда все места в очереди заняты, покидает магазин.

Найти: — вероятность отказа,

— относительную и абсолютную пропускную способность,

— среднее число занятых касс,

— среднее число покупателей в очереди,

— среднее время ожидания и пребывания покупателя в магазине.

Дано: n=2 ; m=3 ; ?=2 ; ?=0.5 ; ?=?/?=4 ; ?/n=2.

Находим

1. Вероятность отказа :

Это означает, что более 50% покупателей получают отказ в обслуживании.

2. Относительная пропускная способность q=1-0,512=0,488 , а абсолютная пропускная способность A=q? ; A=0.976

3. Среднее число занятых касс ; , т.е. обе кассы почти всё время заняты.

4. Среднее число покупателей в очереди

5. Среднее время ожидания : ; мин

6. Среднее время пребывания покупателя в магазине :

(мин)

Все полученные формулы в этом параграфе можно обобщить на случай, когда длина очереди не ограничена (m??). Стационарный режим будет существовать в СМО только в случае, когда ?/n<1. Если ?/n?1, то очередь со временем будет возрастать до бесконечности (m?? при t?+?). Поэтому будем считать, что ?/n<1. Устремим величину m в формулах (2.3) и (2.4) к бесконечности, получим формулы для предельных вероятностей состояний:

(2.5)

…………..

………………..

Вероятность отказа, относительная и абсолютная прпускные способности СМО равны:

1. P_отк.=0 (так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена).

2. P_обс.=q=1- P_отк.=1-0=1 , а

3. A=?q=?

Среднее число занятых каналов

4.

Средняя длина очереди :

5. ;

Среднее время ожидания в очереди

6.

Среднее время пребывания заявки в системе

7. Среднее число заявок в СМО, как находящихся под обслуживанием, так и стоящих в очереди

Пример (2.3) На автозаправочной станции (АЗС) работают 3 колонки с одинаковой производительностью. Наблюдения показали, что в течение одного часа подъезжают 40 автомобилей, причём длительность обслуживания одного автомобиля в среднем составляет 3 минуты.

Определить:

— вероятность простоя колонок,

— среднюю длину очереди,

— среднее число автомобилей на АЗС,

— среднее время ожидания обслуживания одного автомобиля,

— среднее время пребывания автомобиля на АЗС.

Сделать вывод об эффективности работы АЗС.

Дано : n=3, ?=40 авт/час, мин.=1/20 час=0,05 часа

Определить: P₀ , , , , .

Определяем параметры ? и ? : =20 авт/час

.

Так как ?/n=2/3<1 , то задача имеет решение, выраженное формулами основных характеристик для СМО с ожиданием при неограниченном входящем потоке.

1. Вероятность простоя автоколонок определяется по формуле (2.5):

;

?0,11

Следовательно, 11% рабочего времени все автоколонки одновременно простаивают из-за отсутствия автомобилей.

2. Для определения средней длины очереди используем формулу:

; ?1 (автомобиль)

3. Среднее число автомобилей на АЗС:

?3 (автомобиля)

4. Среднее время ожидания обслуживания одного автомобиля:

(часа).

5. Среднее время пребывания автомобиля на АЗС:

часа.

Выводы: Полученные результаты показывают, что за среднее время обслуживания одного автомобиля, т.е. за 3 минуты на АЗС заезжают в среднем 2 автомобиля. На АЗС работают 3 автоколонки, т.е. в течение рабочего дня в среднем одна автоколонка простаивает из-за отсутствия автомобилей. Вместе с тем, сокращать число автоколонок на одну единицу нельзя, поскольку, несмотря на то, что вероятность простоя автоколонок будет стремиться к нулю, средняя длина очереди будет неограниченно возрастать, так как при n=2 ?/n=1.

В связи с этим, при заданных параметрах работу АЗС следует считать эффективной. 44 автомобиля из 100 заезжают на АЗС и застают все автоколонки занятыми, в связи с чем вынуждены встать в очередь и ожидать в среднем 1-3 мин. начала обслуживания. В остальных же случаях, в среднем 56 автомобилей из 100 заезжают на АЗС и сразу обслуживаются, поскольку хотя бы одна автоколонка свободна.