Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Возможные состояния системы будут:

X₀ – все каналы свободны;

X₁ – один канал занят, все остальные свободны;

X₂ – заняты два канала, остальные свободны;

…………………………………………..

X_n – заняты все n каналов.

Из X_k в X_k+1 (k=0 …… n-1) систему переводит один и тот же простейший поток – поток требований с интенсивностью ?. Из состояния X_k+1 в X_k систему переводит простейший поток обслуживания с интенсивностью ?. Если занято 2 канала, то суммарный поток обслуживания будет вдвое интенсивнее, т.е. из X₂ в X₁ система переводится с интенсивностью 2?, если занято k каналов, то поток обслуживания имеет интенсивность k?.

Граф состояний системы имеет следующий вид (рис. 2.1.)

Из данного рисунка видно, что процесс, протекающий в СМО, представляет

частный случай процесса «гибели и размножения».

Используя ранее выведенные формулы, получим значения вероятностей состояний для этого процесса:

……………………..

(2.1)

……………………

Обозначим ?/?=?, тогда формулы (2.1) примут вид :

; ;..; ; … ;

Формулы (2.2) называются формулами Эрланга.

Далее найдём основные характеристики СМО с отказами, позволяющие судить об её эффективности.

1. Вероятность отказа (P_отк.), т.е. вероятность того, что все каналы заняты, равна P_n:

2. Вероятность обслуживания (P_обс.) требования или относительная пропускная способность системы q:

P_обс.=q=1-P_отк. .

3. Абсолютная пропускная способность системы А (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени)

A=q?=?(1-P_отк.)

4. Среднее число занятых каналов :

Так как A есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, а один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени ? заявок, то:

5. Среднее число свободных каналов:

6. Коэффициент использования каналов:

7. Коэффициент простоя каналов:

Пример 2.1 : Автоматическая телефонная станция (АТС) имеет 5 линий связи. Предположим, что поток требований – пуассоновский с интенсивностью, равной 2 вызова в минуту, и время каждого разговора имеет показательное распределение с математическим ожиданием, равным 1,5 мин. Определить вероятность того, что телефонный разговор с первого вызова не состоится, а также среднее число занятых линий во время работы АТС, коэффициенты загрузки и простоя линий связи. Определить, сколько нужно использовать линий связи, чтобы увеличить пропускную способность АТС в 10 раз.

Дано: n=5 , ?=2 вызова в минуту

_обс.=1,5 мин.

Определить P_отк. , n₃ , К_исп , К_пр , а также необходимое число линий связи N для увеличения пропускной способности в 10 раз.

Решение: Требование получит отказ, если в момент его поступления на АТС все пять линий заняты.

; ; ?0,054; ?0,11

Среднее число занятых линий ₃ во время работы АТС определим по формуле:

₃=?(1-P_отк) ; ₃=3(1-0,11)=2,67 линии.

Коэффициент использования (загрузки) линий:

?0,53 К_пр.?1-0,53=0,47.

Для того, чтобы увеличить пропускную способность в 10 раз, нужно, чтобы вероятность отказа в соединении с абонентом не превосходила 0,011. Для этого, используя формулу с ?=3, составим таблицу:

N	1	2	3	4	5	6	7	8
Pn	0.750	0.529	0.346	0.206	0.110	0.052	0.022	0.008

Из этой таблицы видно, что нужно использовать 8 каналов для данных значений ? и ?, чтобы вероятность отказа была не более 0,011 (при N=8, P_отк=0,008).