Перейдем к рассмотрению еще одного весьма важного понятия массового обслуживания, которое играет большую роль при анализе и решении задач обслуживания – времени обслуживания.

Время обслуживания есть прежде всего характеристика функционирования каждого отдельного канала обслуживающей системы. Заметим, что этот показатель характеризует не качество обслуживания, а лишь пропускную способность прибора, т.е. он показывает, сколько времени затрачивается на обслуживание одного требования данным обслуживающим аппаратом. Время обслуживания обычно непостоянно. Оно зависит от многих неконтролируемых факторов.

Например, продолжительность ремонта телевизора зависит от вида неисправности, степени износа телевизора, его марки и пр. Поэтому время обслуживания требования прибором в общем случае является случайной величиной. При этом считают, что продолжительность обслуживания разных требований данным прибором есть независимые случайные величины с одним и тем же законом распределения. Время обслуживания t_обс может быть полностью охарактеризовано с помощью соответствующей функции распределения случайной величины

F(t) = P( t_обс< t ),

где P( t_обс< t ) – вероятность того, что время обслуживания не превосходит величины t .

Наиболее часто полагают, что закон распределения времени обслуживания является показательным.

В случае показательного закона распределения функция распределения имеет вид:

F(t) = 1-e^—mt , а плотность вероятности

F(t) = me^—mt , где m — положительный параметр, который называется интенсивностью обслуживания. Для выяснения его физического смысла, вычислим математическое ожидание времени и обслуживания (среднее время обслуживания)

Следовательно, параметр m определяет среднее число требований, обслуживаемых каналом в единицу времени.

При показательном распределении времени обслуживания все теоретические рассуждения упрощаются, при этом многие окончательные результаты оказываются справедливыми и при других законах распределения (но с тем же средним временем обслуживания). Основное свойство показательного закона времени обслуживания состоит в том, закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от времени, которое уже было затрачено на это обслуживание.

Действительно, для условной вероятности того, что обслуживание будет закончено в малом интервале времени (t₀ , t₀+Dt) при условии, что оно длится уже не менее t₀ , имеем:

.

Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, получим

P( t₀< t_обс< t₀ + Dt ? t_обс > t₀ ) = 1 – 1 + mDt + n(Dt) » mDt ,

где n(Dt) – величина более высокого порядка малости, чем Dt. А это означает, что вероятность окончания обслуживания в течение малого промежутка времени постоянна и зависит от того, сколько времени уже длится обслуживание.