Примеры многокритериальных задачи

1.При решении различных производственных, экономических, социальных и других задач часто приходиться учитывать несколько критериев эффективности. Например при проектировании прибора необходимо как правило учитывать 2 условия – чтобы прибор был надёжен и стоимость минимальна. Ясно что эти 2 критерия противоречивы. Прибор построенный с учётом максимальной надёжности будет дорогим и наоборот.

2.При определении плана производства как правило выдвигают требования – чтобы план обеспечивал минимальную себестоимость и максимальный выпуск продукции и качества.

Единого оптимального решения учитывающего все эти критерии удовлетворяющего им не существует – следовательно для того чтобы решать такие задачи необходимо задавать дополнительную информацию, которая будет учитывать степень важност каждого критерия. Решение многоцелевой задачи, полученное с учётом степени важности заданных критериев наз. компромиссным или субоптимальным. Существуют различные методы решения таких задач: 1) метод свёртывания критериев 2) метод уступок 3) выбор главного критерия 4) метод равных минимальных отношений 5) метод использования параметра и др.

Рассмотрим первые 2 метода, при этом будем предполагать что все критерии максимизируются т.к. мы знаем что если для какого-то критерия Z_k надо найти min то (-Z_k) ® max.

Метод свёртывания критериев.

Рассмотрим мат. Модель линейной многокритериальной задачи.

(1)

(2)

В методе свёртывания критериев задаются некоторые числа так называемые веса учитывающие степень важности некоторого критерия и затем строится обобщённый критерий и затем строим обобщённый критерий Z и решаем задачу в которой для этого критерия Z будем искать max при (1) и (2).

Метод уступок

В этом методе из всех заданных критериев выбирается самый важный и этот критерий обозначим Z₁ затем из оставшихся выбираем самый важный – Z₂ , и т.д. Z_k – затем решается первая ЗЛП в которой для самого важного критерия Z₁ будем искать max при (1) и (2) , решив его находим Z_1max затем назначается уступка DZ1- величина на которую можно уменьшить Z_1max и затем строится дополнительное ограничение (4) Z₁>=Z_1max-DZ₁ и затем решается вторая ЗЛП по второму критерию Z₂®max для которой будем искать max при (1),(2), и (4). Решив задачу найдём Z_2max и затем по второму критерию назначается уступка DZ₂ и вводится новое ограничение (5) и решается 3-я ЗЛП в которой Z₃®max при (1),(2),(4) и (5). На последнем шаге будет решена ЗЛП в которой для критерия Z_k мы найдём max для (1),(2),(4),(5) и всех введённых дополнительных ограничений. Решение этой последней задачи и будет оптимальным компромиссным решением исходной задачи, затем для этого найденного решения вычисляются значения всех целевых функций из условия (3).