Поток требований является одним из основных и наиболее важных понятий теории массового обслуживания. Как уже было отмечено (гл. I.), потоком требований (входящим потоком) называется совокупность требований на обслуживание, поступающих в обслуживающую систему.

Реальные потоки требований являются обычно случайными. Они могут иметь самый различный характер, т.е. описываться различными законами распределения вероятностей, однако большинство результатов теории массового обслуживания получено для тех задач, в которых поток требований предполагается простейшим (пуассоновским).

Простейшими называются такие потоки, которые обладают следующими основными свойствами: ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия.

Поток требований называется ординарным, если вероятность поступления более одного требования за малый промежуток времени Dt есть величина более высокого порядка малости, чем Dt. Это означает, что почти невероятно поступление двух или нескольких требований за малый промежуток времени.

Если обозначить через Р_>1(Dt) вероятность того, что за малый промежуток времени Dt поступит больше одного требования, Р₁(Dt) – вероятность того, что за этот отрезок времени поступит ровно одно требование и Р₀(Dt) – вероятность того, что за отрезок времени Dt не поступит ни одного требования, то

Учитывая, что сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице, для любого малого интервала можно записать

Р₀(Dt) + Р₁(Dt) + Р_>1(Dt) = 1

Но так как Р₁(Dt) >> Р_>1(Dt), то можно написать

Р₀(Dt) + Р₁(Dt) » 1

Примером ординарных потоков является поток автомобилей, прибывающих в гараж.

Поток требований называется стационарным, если вероятность поступления K требований в промежуток времени Dt равна вероятности поступления К требований в любом промежутке времени той же продолжительности. Другими словами, вероятностные характеристики стационарного потока не изменяются во времени. Стационарным можно считать поток вызовов, поступающих на автоматическую телефонную станцию. Правда, в течение суток режим работы АТС может меняться в значительных пределах, поэтому поток вызовов следует считать стационарным лишь на отдельных отрезках времени.

Если вероятность появления K требований за время Dt зависит не только от величины Dt, но и от момента начала этого промежутка, то поток называется нестационарным потоком требований.

Среднее число требований, поступающих в единицу времени, называется интенсивностью (плотностью, параметром) потока. Ее обозначают через l. У стационарного потока интенсивность l одна и та же на любом отрезке времени Dt ; у нестационарного потока l зависит от t .

Потоком без последействия называется поток, у которого для любых двух непересекающихся участков времени число требований, поступающих в систему на одном из них, не зависит от числа требований, поступающих на другом. Это означает, что будущее развитие процесса появления требований не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом. Математически доказано, что простейший поток требований с известным параметром l описывается законом распределения Пуассона

где Р_к(t) – вероятность того, что на произвольно выбранном участке времени продолжительностью t поступит ровно К требований или заявок.

Изменяя К и t можно рассчитать вероятность любого состояния потока требований.

Используя формулу (1.1) можно показать, что интервал времени Т между моментами поступления любых двух соседних заявок (требований) является величиной случайной и распределен по показательному закону с параметром l. Плотность распределения случайной величины Т:

Используя формулу (1.2) можно легко получить числовые характеристики случайной величины T, математическое ожидание М(t)=1/T, дисперсию D(t), среднее квадратическое отклонение.

Заменим , тогда

Время обслуживания

Перейдем к рассмотрению еще одного весьма важного понятия массового обслуживания, которое играет большую роль при анализе и решении задач обслуживания – времени обслуживания.

Время обслуживания есть прежде всего характеристика функционирования каждого отдельного канала обслуживающей системы. Заметим, что этот показатель характеризует не качество обслуживания, а лишь пропускную способность прибора, т.е. он показывает, сколько времени затрачивается на обслуживание одного требования данным обслуживающим аппаратом. Время обслуживания обычно непостоянно. Оно зависит от многих неконтролируемых факторов. Например, продолжительность ремонта телевизора зависит от вида неисправности, степени износа телевизора, его марки и пр. Поэтому время обслуживания требования прибором в общем случае является случайной величиной. При этом считают, что продолжительность обслуживания разных требований данным прибором есть независимые случайные величины с одним и тем же законом распределения. Время обслуживания t_обс может быть полностью охарактеризовано с помощью соответствующей функции распределения случайной величины

F(t) = P( t_обс< t ),

где P( t_обс< t ) – вероятность того, что время обслуживания не превосходит величины t .

Наиболее часто полагают, что закон распределения времени обслуживания является показательным.

В случае показательного закона распределения функция распределения имеет вид:

F(t) = 1-e^—mt , а плотность вероятности

F(t) = me^—mt , где m — положительный параметр, который называется интенсивностью обслуживания. Для выяснения его физического смысла, вычислим математическое ожидание времени и обслуживания (среднее время обслуживания)

Следовательно, параметр m определяет среднее число требований, обслуживаемых каналом в единицу времени.

При показательном распределении времени обслуживания все теоретические рассуждения упрощаются, при этом многие окончательные результаты оказываются справедливыми и при других законах распределения (но с тем же средним временем обслуживания). Основное свойство показательного закона времени обслуживания состоит в том, закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от времени, которое уже было затрачено на это обслуживание.

Действительно, для условной вероятности того, что обслуживание будет закончено в малом интервале времени (t₀ , t₀+Dt) при условии, что оно длится уже не менее t₀ , имеем:

.

Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, получим

P( t₀< t_обс< t₀ + Dt ? t_обс > t₀ ) = 1 – 1 + mDt + n(Dt) » mDt ,

где n(Dt) – величина более высокого порядка малости, чем Dt. А это означает, что вероятность окончания обслуживания в течение малого промежутка времени постоянна и зависит от того, сколько времени уже длится обслуживание.

Основные понятия Марковских процессов

Процессы, происходящие в СМО, являются случайными. Последовательность конкретных состояний процесса будем называть реализацией процесса. Будем рассматривать только системы, которые имеют конечное число возможных состояний. Их будем называть системами с дискретными состояниями, а процессы, протекающие в них , — дискретными случайными процессами.

Дискретный случайный процесс удобно изображать с помощью графа состояний. Будем изображать каждое состояние (вершину графа состояний) окружностью, а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками, соединяющие эти окружности. В качестве примера рассмотрим телефон-автомат, который в некоторые промежутки времени простаивает (состояние Х₀), а в некоторые работает (состояние Х₁). На рис. 1.3 показан граф возможных состояний для этого примера.