Корневым годографом называют геометрическое место корней характеристического уравнения при изменении величины исследуемого параметра от 0 до ?.

Представим характеристическое уравнение исследуемой системы в следующем виде:

A(p)=R(p)+dQ(p), где d — исследуемый параметр, а R и Q— некоторые полиномы от p, порядка n и k соответственно.

Всегда можно выбрать единицу измерения параметра d так, чтобы коэффициенты при высших степенях полиномов R(p) и Q(p) были равны 1. В этом случае можно представить полиномы R(p) и Q(p) в следующем виде:

(7.1)

Обозначим корни полиномов R(p) и Q(p) как r_i и q_i, соответственно.

Тогда характеристическое уравнение можно представить в виде:

. (7.2)

При этом необходимо выбрать параметр d таким образом, чтобы n?k.

На практике обычно строят не сам частотный годограф, а асимптоты, к которым стремятся корни характеристического уравнения при неограниченном увеличении исследуемого параметра системы. Полученную таким образом фигуру называют асимптотическим корневым годографом.

Свойства асимптотического корневого годографа:

1. Корневой годограф симметричен относительно действительной оси.

2. Корневой годограф состоит из n-ветвей, выходящих из n-нулей уравнения R(p)=0. Из них k-ветвей заканчиваются в нулях уравнения Q(p)=0, а n-k ветвей уходят в бесконечность при неограниченном увеличении значения исследуемого параметра d.

3. Асимптотический корневой годограф представляет собой n-k лучевую звезду с центром в точке x₀:

, (7.3)

при этом лучи звезды делят угол в 360° на равные сектора.

а) б) в)

Рис. 7.1. Примеры асимптотического корневого годографа для различных значений n-k, лучи годографа представлены жирными стрелками.

Пример 7.1.

Необходимо построить асимптотический корневой годограф, для замкнутой системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет следующий вид:

. Исследуемый параметр – Т. Коэффициент усиления k=9.

Построим передаточную функцию замкнутой системы: .

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид: . Выражения для полиномов R(p) и Q(p) могут быть записаны как: R(p)=(k+1)p+1; Q(p)=p². Тогда ; d=T.

Проверим, выполняются ли требования, предъявляемые к полиномам R(p) и Q(p). Первое требование, согласно которому при р в наивысших степенях каждого полинома должен стоять коэффициент единица, не выполняется для полинома R(p) и справедлив для полинома Q(p). Поделив обе части характеристического уравнения на k+1, получим: R(p)=p+1/(k+1); Q(p)=p²; d=T/(k+1). Проверим выполнение второго требования, согласно которому, n?k. В нашем случае оно не выполняется, так как n=1, а k=2. Поделим обе части характеристического уравнения на T/(k+1). В результате получим: R(p)=p²; Q(p)=p+1/(k+1); d=(k+1)/T. Теперь мы удовлетворили всем требованиям, предъявляемым к полиномам R(p) и Q(p). Найдем корни этих полиномов: r₁=r₂=0; q₁= -1/(k+1). Подставив значение k, получим: r₁=r₂=0; q₁= -0.1; n—k=1. Тогда координаты центра асимптотического корневого годографа: x₀=[0-(-0.1)]/1=0.1. Вид корневого годографа для нашего примера представлен на рис. 7.2.

а) б)

Рис. 7.2. Асимптотические корневые годографы для: а) — примера 7.1, б) – примера 7.2.

Построенный нами асимптотический корневой годограф свидетельствует о том, что при малых значениях параметра d=T/(k+1), система будет неустойчива, так как один корень характеристического уравнения будет находиться в правой части комплексной плоскости; при увеличении d, начиная с некоторого значения d_kp, система переходит в устойчивое состояние, так как один корень переходит из правой полуплоскости в левую.

Пример 7.2.

Необходимо построить асимптотический корневой годограф, для замкнутой системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет следующий вид:

. Исследуемый параметр – k. Постоянная времени T=0,1.

Построим передаточную функцию замкнутой системы: . Тогда характеристическое уравнение системы имеет вид: . Выражения для полиномов R(p) и Q(p) могут быть записаны как: R(p)=p²T+p+1; Q(p)=p. Тогда ; где d=k.

Проверим, выполняются ли требования, предъявляемые к полиномам R(p) и Q(p). Первое требование, согласно которому при р в наивысших степенях каждого полинома должен стоять коэффициент единица, не выполняется для полинома R(p) и справедлив для полинома Q(p). Поделив обе части характеристического уравнения на T, получим: R(p)= p²+p/T+1/T; Q(p)=p; d=k/T. Проверим выполнение второго требования, согласно которому, n?k. В нашем случае оно выполняется, так как n=2, а k=1. Теперь мы удовлетворили всем требованиям, предъявляемым к полиномам R(p) и Q(p). Опуская арифметические вычисления, запишем их результат: r₁+r₂= -5; q₁= 0; n—k=1. Тогда координаты центра асимптотического корневого годографа: x₀=[-5-0]/1= -5. Вид корневого годографа для нашего примера представлен на рис. 7.2,б.