Пусть входной сигнал представлен в следующем виде:

, (6.7)

где A₁,A₂,……A_k— некоторые постоянные коэффициенты.

Тогда его изображение: , где N(p) – некоторый полином комплексной переменной p. В этом случае величина ошибки рассогласования при отсутствии помех может быть представлена следующим образом:

, (6.8)

причем можно записать:

, (6.9)

где С_i — некоторые постоянные коэффициенты.

Отсюда изображение величины ошибки рассогласования:

. (6.10)

Из выражения (7.10) видно, что ошибка рассогласования имеет две составляющие:

1. Вынужденная составляющая — ;

2. Свободная составляющая — .

Для устойчивых систем величина свободной составляющей ошибки с течением времени стремится к нулю, следовательно, наибольший интерес представляет вынужденная составляющая. Коэффициенты С_i, которые определяют величину вынужденной составляющей ошибки рассогласования, получили название коэффициентов ошибок.

Представим передаточную функцию по ошибке в следующем виде:

, (6.11)

где а_i и b_i – это некоторые постоянные коэффициенты.

Тогда нахождение коэффициентов ошибок С_i сводится к решению следующей системы уравнений:

(6.12)

Зная коэффициенты ошибок С_i, можно найти вынужденную составляющую ошибки рассогласования системы, используя так называемую основную формулу метода коэффициентов ошибок:

, (6.13)

где — производная i-го порядка от входного сигнала.

Пример 6.1.

Построить вынужденную составляющую ошибки для замкнутой системы, у которой , если на вход подан сигнал вида v(t)=t²-2t+1, причем k=100; T₁=0,1; T₂=0,5.

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

.

Тогда передаточная функция относительно ошибки рассогласования: .

После преобразований получим:.

Коэффициенты передаточной функции относительно ошибки рассогласования имеют в нашем случае вид: b₀=1; b₁=T₁+T₂; b₂=T₁T₂; a₀=1+k; a₁=T₁+T₂; a₂=T₁T₂.

Вычислим производные от функции входного сигнала:

Рис. 6.3. График зависимости вынужденной составляющей ошибки рассогласования от времени для примера 6.1.

Поскольку все производные v(t) порядка выше второго равны нулю, то для вычисления вынужденной составляющей ошибки рассогласования, с помощью основной формулы метода коэфициентов ошибок, нам необходимо вычислить только три коэффициента ошибки: С₀, С₁ и С₂. Система уравнений для их нахождения принимает вид:

Подставив в систему значения коэффициентов k=100; T₁=0,1; T₂=0,5 и решив ее, получим: С₀=0,01; C₁=0.06; C₂=5?10^-4.

График зависимости вынужденной составляющей ошибки рассогласования от времени, построенный для нашего примера, приведен на рис. 6.3.