Методы определения законов распределения случайных величин


Конечная цель в исследовании экспериментального распределения случайной величины — нахождения уравнения кривой распределения этой величины.

Основными типами теоретического распределения случайных величин являются нормальное распределение Гаусса-Лапласа, биноминальное распределение Бернулли, распределение c2 (хи-квадрат) и некоторые другие. Все эти распределения обладают хорошо известными формулами, задача заключается лишь в том, чтобы правильно определить, какая из теоретических кривых наиболее полно совпадает с выборочным распределением. Покажем, как это делается на примере нормального распределения, которое наиболее часто встречается в научных, производственных, биологических, экономических и других задачах.

Прежде всего по каким-либо признакам (внешний вид кривой и т.п.) высказывается гипотеза о том, что распределение случайной величины приближается к той или иной теоретической кривой распределения. Затем эта гипотеза проверяется с помощью вычислений выравнивающих частот выбранного распределения и одного из критериев согласия, который показывает, можем ли мы для данного выборочного (экспериментального) ряда распределения использовать объективные черты теоретического распределения (закона), упомянутого в гипотезе.

Покажем способ вычисления выравнивающих частот для нормального распределения, а также проверку гипотез с помощью критерия согласия c2 (хи-квадрат) К. Пирсона.

Для высказывания гипотезы о нормальном распределении нужно иметь хоть какие-то основания. Чаще всего о нормальности распределения судят “на глазок” по виду гистограммы (рис.1.1), однако иногда она бывает настолько искажена, что трудно прийти к какому-либо выводу. В этом случае достаточно обратиться к мерам косости и крутости. При стремлении выборочного ряда распределения к нормальной кривой обе меры будут стремиться к нулю. На практике это означает, что если меры косости и крутости не превышают свои основные ошибки более, чем в 3–4 раза, то уже имеется основание для высказывания гипотезы о нормальном распределении.

Случайная величина X имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами M[X] и D[X] = ?2, если ее плотность распределения задается формулой

clip_image002 . (1.17)

Графическое изображение кривой нормального распределения представлено на рис.1.2., из которого ясен смысл величин M[X ] – математического ожидания и s2дисперсии.

clip_image004

Рис.1.2. Функция плотности вероятности нормального закона распределения