ПРИМЕР РАСЧЕТА


Требуется построить эпюру поперечных сил (эпюра Q), эпюру изгибающих моментов (эпюра М) и запроектировать сечение по максимальному изгибающему моменту для одноконсольной балки, загруженной в пролете распределенной нагрузкой и моментом, на консоли – сосредоточенной силой, как показано на рис. 2.1 а.
Решение.
Определение опорных реакций.
Предполагаем, что обе реакции Rа и RВ направлены вверх
(рис. 2.1, а). Пользуясь условием равенства нулю алгебраической суммы моментов всех внешних сил относительно центра тяжести любого сечения балки, находим по формулам (2.1), (2.2):
, (2.1) , (2.2)
откуда: . (2.3)

а) расчетная схема балки; б) эпюра Q; в) эпюра М

Реакция RB рассчитывается по формуле (2.4):
, (2.4)
кН.
Для определения опорной реакции Rа составим уравнение моментов всех внешних сил относительно точки B (2.5) – (2.7):
, (2.5)
(2.6)
,
, (2.7)
кН.
Проверка производится из условия, что сумма всех вертикальных сил на ось Y равна 0:
,
,
,
33-33 = 0,
то есть реакции определены правильно.
2.3. Построение эпюры поперечных сил (эпюры Q)
Зная опорные реакции RA и RB, нетрудно составить аналитическое выражение поперечной силы на любом участке (поперечная сила в любом сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных с одной стороны от этого сечения).
Начинаем определять поперечную силу с левого конца, с опоры А. На опоре А действует одна вертикальная сила – опорная реакция, следовательно, QA?RA ? 9.154 кН. На участке действия распределенной нагрузки q поперечная сила будет изменяться по линейному закону. На расстоянии Z от опоры А поперечная сила:
. (2.8)
И достаточно определить значение силы Q в точке С, где она будет равна:
, (2.9)
кН.
На участке СВ поперечная сила будет равна в любом сечении кН, потому что на этом участке нет никаких вертикальных усилий. Следовательно, на этом участке эпюра Q представляет собой прямую, параллельную оси балки.
Консоль рассматриваем со свободного конца, то есть справа, поэтому знаки в значении силы Q будем менять на противоположные.
На конце опоры приложена сила F ? 15 кН, а значит Q на конце консоли будет равна силе F с противоположным знаком. Q ? F ? ? 15 кН. (F в данном случае отрицательна, но мы меняем знак для силы Q на противоположный).
В любом сечении на консоли справа от конца консоли
Q ? –F ? 15 кН.
На опоре В получается скачок, равный 15+8,846 по абсолютной величине ? 23,846 ? RB, то есть значение силы Q определили верно.
Для построения эпюры Q примем масштаб 1см ? 4 кН, проводим ось эпюры, начало которой совпадает с началом балки, конец оси совпадает с концом балки, ось проводим параллельно оси балки. Вверх от оси откладываем в масштабе положительные значения Q, вниз – отрицательные (рис. 2.1, б).
На построенной эпюре указываются алгебраические знаки и значения характерных ординат, после чего эпюра заштриховывается перпендикулярно осевой (базисной) линии. Каждая ордината в принятом масштабе характеризует значение поперечной силы в соответствующем сечении балки.
Построение эпюры М начинаем с определения значений изгибающих моментов в характерных точках балки. Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных с одной стороны от сечения, относительно его центра тяжести. При определении значения изгибающего момента в сечении положительным считается момент силы, действующий по часовой стрелке относительно сечения, отрицательным – против часовой стрелки. Начинаем определять значение изгибающих моментов с опоры А. На опоре А момент М ? 0. На участке АС для определения момента записываем аналитическое выражение (2.10) значения изгибающего момента на расстоянии X от опоры.
, (2.10)
где: – приведение распределенной нагрузки к сосредоточенной, приложенной в середине длины распределения;
– плечо этой сосредоточенной силы, то есть расстояние от точки приложения до указанного сечения. Поскольку X в формуле во второй степени, эпюра будет изменяться по параболе.
Для более точного построения параболы найдем значение изгибающего момента в нескольких точках, на расстоянии x ? 0,5 м от опоры А:
, (2.11)
кНм.
На расстоянии x ? 1,0 м от опоры A:
. (2.12)
кНм
На расстоянии x ? 1,5 м от опоры A:
кНм.
На расстоянии x ? 2 м от опоры A:
, (2.13)
кНм.
На расстоянии x ? 2,5 м от опоры A:
, (2.14)
кНм.
И, наконец, значение изгибающего момента на расстоянии x ? 3м от опоры A, то есть в точке, где заканчивается действие распределенной нагрузки:
, (2.15)
кНм.
На участке СД значение изгибающего момента в любой точке будет равно (на расстоянии X от точки С):
, (2.16)
то есть эпюра будет изменяться по прямой, поэтому достаточно определить значение изгибающего момента в точке Д и соединить прямой от С до точки Д.
Сначала определим по формуле (2.17) значение момента в точке Д без учета сосредоточенного момента m.
, (2.17)
кНм.
Значение изгибающего момента в точке Д с учетом действия сосредоточенного момента m ? 8 кНм (2.18):
, (2.18)
кНм.
Находим значение момента в точке B (2.19):
, (2.19)
кНм.
Значение момента в точке В находим от свободного конца консоли. На конце консоли момент равен 0. В точке В:
,
но поскольку момент определяется справа, значит, знак должен меняться на противоположный:
кНм.
Значение момента совпадает, следовательно, моменты определены верно.
Построение эпюры начинаем с проведения базисной линии параллельно оси балки, начало осевой (базисной) линии – начало балки; конец базисной линии – конец балки. Эпюра М (рис. 2.1, в).
В выбранном масштабе 1 см ? 5 кНм откладываем значения ординат в соответствующих значениях абсцисс. Соединяем найденные значения.
Положительные значения моментов откладываем вниз от базисной линии, отрицательные – вверх.
В точке приложения момента на эпюре получился скачок, численно равный приложенному моменту m ? 8 кНм.
Указывается на эпюре алгебраический знак и эпюра заштриховывается перпендикулярно базисной линии. В таком виде эпюра М дает возможность определить в принятом масштабе значение изгибающего момента в любом сечении балки, измерив соответствующую ординату.
Выбрав на эпюре максимальный момент по абсолютной величине Мmax ? -22.5 кНм, рассчитываем необходимый момент сопротивления по формуле расчета изгибаемых элементов из условия прочности (2.20):
, (2.20)
где: Wx – момент сопротивления сечения;
Мmax – максимальный изгибающий момент на эпюре М;
R – расчетное сопротивление для данного материала (для стали, 3 равный 210 МПа);
gc – коэффициент условий работы, равный 1.
см3;
103 – переход от кНм в Нм;
106 – переход от МПа к Па;
106 – переход от м3 к см3.
По ГОСТ 8239-89 принимается двутавр № 16 при Wx=109см3>107 см3.
Подобранное сечение проверяется на сдвиг по формуле (2.21):
, (2.21)
где: Qmax – максимальная поперечная сила на эпюре Q, равная 15 кН;
Sx – статический момент половины площади сечения в данном случае равный 62,3 см3 по ГОСТ 8239-89;
Ix – момент инерции сечения относительно оси X, в данном случае равный 873 см4 по ГОСТ 8239-89;
d – толщина стенки, равная 0,5 см;
tmax – максимальное касательное напряжение (tmax для стали 3 при растяжении (сжатии) ? 140 МПа)
МПа < 140 МПа,
где: 10-3 – переход от кН к Н;
10-6, 10-8, 10-2 – переход от см3, см4 и см к м3, м4 и м, то есть стенка имеет значительный запас прочности на сдвиг.
ЛИТЕРАТУРА
Александров А.В., Потомов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1995.
ГОСТ 8239-89. Двутавры стальные горячекатаные.
ГОСТы ЕСКД.
ГОСТ 851-86. Уголки стальные горячекатаные неровно-полочные.
ГОСТ 8509-86. Уголки стальные горячекатаные ровно-полочные.
ГОСТ 8240-89. Швеллеры стальные горячекатаные.
Киносошвили Р.С. Сопротивление материалов. – М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958.
Михайлов А.М. Сопротивление материалов. – М.: Стройиздат, 1989м. – 352 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………….3
1. Расчетно-графическая работа №1…………………………..3
1.1. Цель работы……………………………………………….3
1.2. Расчет на прочность………………………………………4
1.3. Определение центра тяжести сложного сеч.…………8
2. Расчетно-графическая работа №2…………………………11
2.1. Цель работы ………………………………………………11
2.2. Пример расчета……………………………………………11
2.3. Построение эпюры поперечных сил (эпюры Q)………13

Литература..…………………………………………..…………18