Загрузка...

Расчет центрально-сжатых и центрально-растянутых элементов из расчета на прочность


1.1. Цель работы

Данная РГР преследует две цели: развитие навыков у студентов самостоятельно конструировать сечения центрально-растянутого (центрально-сжатого) элемента из расчета на прочность; вторая – определить центр тяжести сложного сечения.
Для достижения первой цели необходимо решить следующие задачи:
1) построить эпюру вертикальных сил;
2) по найденным вертикальным силам рассчитать площади сечений из расчета на прочность;
3) по расчетным сечениям подобрать прокатный профиль, пользуясь государственными стандартами;
4) для проверки правильности проведенных расчетов определить нормальные напряжения в найденных сечениях и построить эпюру нормальных напряжений.
Для достижения второй цели необходимо решить следующие задачи:
1) разбить сложную фигуру на ряд простых;
2) задаться координатными осями;
3) вычислить абсциссу и ординату каждого простого сечения относительно заданных осей;
4) определить абсциссу центра тяжести сложного сечения;
5) определить ординату центра тяжести сложного сечения.
Задачи решаются аналитическим путем по формулам курса сопротивления материалов. Данные для курсовой работы выдает преподаватель индивидуально каждому студенту. Результатом расчетов является графическая часть.
Графическая часть работы выполняется на листе формата А3 по ГОСТ 3.301-68* ЕСКД с основной надписью по ГОСТ 2.316-68 ЕСКД.
На формате левой части вычерчивается в масштабе стойка с размерами основными и нагрузками. Под стойкой в масштабе вычерчивается расчетное сечение с указанием основных размеров, справа от стойки – эпюра продольных сил и напряжений, рассчитанных в пояснительной записке. Справа над основной надписью вычерчивается заданное сечение, на котором указывается центр тяжести сечения, рассчитанный в пояснительной записке 2. Пример расчета.

1.2. Расчет на прочность

Расчет приводится на примере стойки рис. 1.1.
По оси бруса из стали класса АIII прикладываются силы
F1 = 100 кН, F2 = 500 кН, F3 = 600 кН. Точки приложения сил указаны на рис. 2.1. Требуется построить эпюру продольных сил (эпюра N), определить площади сечений и, как результат, построить эпюру напряжений (эпюра N).

Рис.1.1. Пример расчета стойки:
а) расчетная схема стойки;
б) эпюра продольных сил (эпюра N), М 1 см =100 кН;
в) эпюра напряжений (эпюра N), М 1 см = 100 Мпа
Решение.
Построение эпюры продольных сил (эпюры N). Брус разбивается на три участка, границы которых совпадают с точками приложения внешних сил F1, F2, F3. Брус защемлен в нижнем основании.
Расчет защемленного бруса целесообразно начинать со свободного конца, так как при этом отпадает необходимость в предварительном определении реакции заделки. Пользуясь методом сечений, мысленно разрезаем брус по сечению 1-1 верхнего участка и отбрасываем нижнюю часть, заменяя ее действие на оставшуюся верхнюю неизвестной продольной силой N1 (рис. 1.2, б).
2222222222222222222222222222
Рис. 1.2. Расчетное сечение стойки:
а) расчетная схема стойки с сечениями; б) сечение 1-1; в) сечение 2-2;
г) сечение 3-3

Предполагая, что эта сила направлена от сечения (то есть рассматриваемый участок растянут), и руководствуясь правилом знаков статики (силу N принято считать положительной при растяжении, то есть когда она направлена от сечения. При сжатии, наоборот, продольная сила отрицательна и направлена к сечению), составляем уравнение равновесия верхней части:
; , (1.1) откуда кН.
Продольная сила получилась отрицательной. Следовательно, первоначальное направление выбрано неправильно и участок работает не на растяжение, а на сжатие.
Заметим, что полученное значение продольной силы справедливо на всем протяжении верхнего участка, поскольку в любом его поперечном сечении удовлетворяется записанное уравнение равновесия.
Путем аналогичных рассуждений в сечении 2-2 (рис. 1.2, в) получаем:
; , (1.2) кН,
то есть средний участок растянут.
Анализируя выражения усилий N1 и N2, замечаем, что продольная сила в поперечном сечении прямого бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его ось всех внешних сил, приложенных с одной стороны (в данном случае – сверху) от рассматриваемого сечения.
Сформулированный вывод имеет большое практическое значение. Он позволяет определять продольную силу, не прибегая каждый раз к изображению отсеченной части бруса в составлении уравнений равновесия. При этом необходимо уже руководствоваться введенным выше правилом знаков силы N (знак “плюс”- при растяжении, знак “минус”- при сжатии).
С учетом сказанного в сечении 3-3 (рис. 1.2, г)
кН. (1.3)
Сила отрицательная, поэтому нижний участок сжат.
Вычислив значение продольной силы N на каждом участке, показываем ее графическое изменение по длине бруса. Для этого проводим так называемую базисную линию (ось эпюры) и откладываем перпендикулярно ей в выбранном масштабе найденные значения N (рис. 1.1, б): положительные – вправо, отрицательные – влево (для горизонтально расположенного бруса – соответственно вверх и вниз). Соединяем полученные точки прямыми, параллельными базисной линии, и указываем алгебраические знаки. Построенную таким образом эпюру заштриховываем линиями, перпендикулярными оси. По этим линиям можно судить о значении продольной силы в соответствующих поперечных сечениях бруса.
Ось эпюры следует выполнять сплошной основной линией толщиной S = 0,5-1,4 мм, саму эпюру – сплошной линией толщиной 2S. Линии штриховки и выносные должны быть тонкими, толщиной от S/3 до S/2.
При рассмотрении построенной эпюры видно, что в сечениях, где приложены внешние силы (на границах участков) внутренняя сила меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующей внешней силе. Так, скачок на уровне заделки характеризует значение реакции (R = -200 кН). Знак на нижнем участке свидетельствует о том, что реакция направлена вверх (к опорному сечению).
По найденным вертикальным усилиям, исходя из расчета по предельному состоянию, требуется подобрать сечение стойки. Анализируя эпюру продольных сил, можно сказать, что сечение будет составным.
Нижняя часть стойки рассчитывается по максимальному усилию N2=400 кН. Определяется значение расчетной нагрузки по формуле (1.4):
(1.4)
где: Nn – нормативная нагрузка в кН определяется по эпюре N;
– коэффициент надежности по нагрузке определяется по СНиП 2.01.07-85, в данном случае равен 1,05.
NP = 400 х 1,05 = 420 кН.
Условия прочности для центрально-растянутого (сжатого) элемента записывается по формуле:
(1.5)
где: N – усилие, являющееся наибольшим возможным за время нормальной эксплуатации конструкции, в данном случае
N = Np = 420 кН;
Ант – площадь сечения нетто;
R– расчетное сопротивление материала. Для стали класса А3 значение R = 210 Мпа;
– коэффициент условий работы, равный 1.
Исходя из формулы (1.5), определяется площадь сечения, необходимая для данного загружения:

где: 103 – переход от кН к Н;
10-2 – переход от мм2 к см2.
По ГОСТ 8239-89 подбирается ближайший профиль двутавр № 16 с площадью сечения А = 20,2 см2.
Верхний участок рассчитывается аналогично на усилие
N1 = -100 кН по формулам см. (1.4) и (1.5):

По ГОСТ 8240-89 подбираем двутавр № 5 с А = 6,16 см2.
Построение эпюры нормальных напряжений (эпюры ). Для вычисления напряжений воспользуемся формулой сопротивления материалов

где: N – продольная сила в сечении, кН;
А – площадь поперечного сечения, мм2.
Брус разбивается на участки, границы которых определяются не только сечениями, где приложены внешние силы, но и сечениями, где меняются поперечные размеры бруса. В нашем случае эти сечения совпадают.
Пользуясь эпюрой N, находим:
МПа<210 МПа,
МПа < 210 МПа,
МПа < 210 МПа.
Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 1.1, в. Она строится по такому же принципу, как эпюра продольных сил. Каждая ее ордината характеризует в принятом масштабе значение напряжений в соответствующем поперечном сечении бруса.

1.3. Определение центра тяжести сложного сечения
Имеется сложное сечение, которое легко разбивается на ряд простых фигур: уголок, прямоугольник, круг. Размеры даны на
Решение.
Центр тяжести сложного сечения определяется из условия:

где: xc, yс – координаты центра тяжести; Sx – статический момент

площади сечения относительно оси x; Sy – статический момент площади сечения относительно оси y; А – площадь сечения фигуры; xi – расстояние от центра тяжести до оси Y простой фигуры, на которые мы разбивали наше сложное сечение;
yi – расстояние от центра тяжести до оси x простой фигуры;
Аi – площадь сечения простой фигуры.
Центр тяжести сложного сечения определяется по следующей схеме:
1) проводятся оси координат по грани сложного сечения;
2) сложное сечение разбивается на ряд простых (в данном случае уголок, прямоугольник, круг);
3) определяется центр тяжести каждой фигуры (центр тяжести уголка берется по ГОСТ 8509-86, центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения диагоналей, центр круга находится в точке пересечения диаметров);
4) определяется расстояние от центра тяжести каждой фигуры до оси X и оси Y (в данном случае x1 = 3,45 см; y1 = 8+50-3,45 = 54,55 см; x2 = 12,5 + (42/2) = 33,5 см; y2 = 8+50/2 = 33 см; x3 = 12,5+42+8 = 62,5 см; y3= 8 см (рис. 2.3). Координаты указаны на рис. 1.3.
5) определяется площадь сечения каждой фигуры (в данном случае площадь сечения уголка 125?10 берется по ГОСТ 8509-86).
A1 = 24.3 см2, площадь сечения прямоугольника А2 = 42 х 50 = 2100 см2, площадь круга A3 = = 3.14 х 82 = 200,96 см2).
Отсюда следует:

ордината yc и абсцисса xс откладываются от оси x и оси y(рис. 1.3).
Расчеты ординаты yc и абсциссы xс ведутся в сантиметрах, на сложном сечении (рис. 1.3) размеры задаются в мм.

Загрузка...