Параболическое сглаживание (метод Чебышева). Равноотстоящие значения аргумента.


На практике часто встречаются случаи, когда необходимо найти уравнение какой-либо переменной (случайной величины) от другой случайной величины, числовые значения которой равноотстоящие друг от друга, то есть, соблюдается равенство

X2 X1=X3 X2=…=Xn Xn-1= DX . (2.38)

Это могут быть задачи об изменениях цен, урожая, количества осадков и т.п. по годам или любые другие задачи, лишь бы соблюдалось равенство (2.38). В этом случае легко весь класс таких задач свести к единому аргументу, преобразовав именованные случайные величины Xi в абстрактные номера интервалов xi

clip_image002, (2.39)

где Xн = Xmin — DX – начальные значения аргумента.

Для решения таких задач П.Л. Чебышев предложил простой способ отыскания функции

f(x) = k0 + k1y1(x) + k2y2(x) + … + klyl(x) , (2.40)

где l ? n-1, причём n — количество интервалов;

clip_image004;

clip_image006;

clip_image008;

clip_image010;

clip_image012;

clip_image014;

clip_image016;

— — — — — — — — — — — — — — —

clip_image018.

Согласно формуле (2.40) первый член суммы является средним арифметическим выборки по случайной величине Y, первые два члена представляют собой линейное уравнение, три члена – квадратичное и т.д. Прибавляя к функции по одному новому члену мы увеличиваем степень уравнения на единицу. Для практических целей достаточно параболы 2-го или 3-го порядка, поэтому дальнейшие разложения полинома yl(x) здесь не приводятся.

Наилучшая кривая сглаживания считается полученной при достижении минимума ошибки приближения параболы

clip_image020, (2.41)

где clip_image022;

clip_image024.

Проверку полученного уравнения на степень приближения к экспериментальным данным можно вести по критерию c2-Пирсона, методика работы с которым изложена в разделе 1.3.

Пример 5. По числовой выборке середины разрядов clip_image026 табл.2.1 найти уравнение связи по методу параболического сглаживания и определить степень его достоверности.

Р е ш е н и е: Для нахождения уравнения связи воспользуемся формулами (2.40)-(2.41). Результаты вычислений для удобства будем записывать в специальную таблицу.

0) Вычисление параболы нулевого порядка.

clip_image028;

clip_image030;

clip_image032;

clip_image034.

1) Вычисление параболы первого порядка.

clip_image036;

clip_image038;

clip_image040;

При сложении первого и второго члена суммы (2.40) получается:

clip_image042;

clip_image044

clip_image046.

Так как s1<s0, то вычисления следует продолжать.

2) Вычисление параболы второго порядка.

clip_image048;

clip_image050;

clip_image052;

При сложении третьего члена суммы (2.40) с предыдущими получается:

clip_image054;

clip_image056;

clip_image058.

Так как s2<s1, то вычисления следует продолжать.

3) Вычисление параболы третьего порядка.

clip_image060;

clip_image062;

clip_image064;

При сложении четвёртого члена суммы (2.40) с предыдущими получается:

clip_image066

clip_image068;

clip_image070.

Последовательность вычислений параболического сглаживания

для равноотстоящих значений аргумента

xi

Yi

y1i

Yiy1i

y2i

Yiy2i

y3i

Yiy3i

2f(x)

3f(x)

1

56,8

-4

-227,2

+9,333

+530,1

-16,8

-954,24

57,07

56,62

2

59,7

-3

-179,1

+2,333

+139,3

+8,4

+501,48

57,03

57,26

3

59,1

-2

-118,2

-2,667

-157,6

+15,6

+921,96

57,76

58,18

4

60,7

-1

-60,7

-5,667

-344,0

+10,8

+655,56

59,27

59,56

5

60,8

0

0

-6,667

-405,4

0

0

61,55

61,55

6

65,6

+1

+65,6

-5,667

-371,8

-10,8

-708,48

64,61

64,30

7

69,5

+2

+139,0

-2,667

-185,4

-15,6

-1084,20

68,44

68,00

8

74,5

+3

+223,5

+2,333

+173,8

-8,4

-625,80

73,04

72,79

9

79,3

+4

+317,2

+9,333

+740,1

+16,8

+1332,24

78,41

78,84

clip_image072

586

+160,1

+119,1

+38,52

2c2=0,272

3c2=0,252

clip_image074

38636,62

60

308,000

1425,6

Р(2c2)=0,99951

Р(3c2)=0,99967

Так как s3>s2, то вычисления прекращаются и формально наилучшим считается уравнение второго порядка. Однако в силу того, что s2»s3 это ещё надо доказать. С этой подсчитаем значения функций 2f(x) и 3f(x) (см. таблицу), а затем по выражению (1.21) определим для каждого из уравнений величину c2, по которой найдём вероятность правильной аппроксимации. Для нашего примера это Р(2c2)=0,99951 и Р(3c2)=0,99967. Так как табл.П.1 для такой точности не приспособлена, то пришлось воспользоваться таблицами в [4]. Такие вероятности означают, что с точностью до 0,1% оба уравнения равноценны. В этом случае предпочтение нужно отдавать простейшему из них

clip_image076,

которое, при подстановке первичного преобразователя clip_image078 превращается в обычное регрессионное уравнение

clip_image080.

Сравнение этого уравнения с ранее найденными показывает практически полное его совпадение с М2 табл.2.3 и некоторое незначительное отличие (в пределах исследованного диапазона clip_image082) с уравнением, полученным в примере 1 раздела 2.2.