Цифровая фильтрация есть многомерная и одномерная. В данном случае, цифровая фильтрация одномерного сигнала описывается следующим рекурентным уравнением: выходной отсчет в следующий момент времени есть . Это так называемый рекурсивный фильтр для фильтрации одномерных сигналов. Изменяя коэффициенты a_k и b_l можно задавать различные филтрации. a_k и b_l – это постоянные коэффициенты.

Из пределов суммирования виден диапазон их изменения. K и L – это число ячеек во входной и выходной очереди фильтра. Если посмотреть на это рекурентное выражение, то окажется, что следующий отсчет выходного сигнала зависит линейно от предыдущих К отсчетов, то есть для того чтобы вычислить Y_i+1 мы суммируем предыдущие входные значения на глубину до К, но также учитываются предыдущие выходные значения на глубину L. То есть цифровой фильтр можно образно представить следующим образом:

есть некая входная и выходная очередь, состоящие из K и L ячеек; также есть сумматор и умножитель, к которому подключается запоминающее устройство коэффициентов a и b. Это линейная модель фильтрации – линейный цифровой фильтр. Более сложную модель фильтрации не реализуют. Иногда выход цифрового фильтра выводится прямо с текущего полученного отсчета, но это как бы запоминается ранее выданные отсчеты одного сигнала. Для того, чтобы фильтр начал полностью фильтровать, надо записать все входные данные, но если не записывать, то предполагается, что эти данные имеют какие-то четко оговоренные значения. Если коэффициенты b_l положить равными нулю, то получается не рекурсивный фильтр, то есть отсчеты выходного сигнала не зависят от ранее полученных отсчетов сигналов. Мы видим, что в этом случае структура выражения такая же, как и в дискретном ортогональном преобразовании, то есть коэффициенты, которые постоянны и известны заранее суммируются с умножением на отсчеты сигналов. То есть чтобы выполнить цифровую фильтрацию нужно выполнить тот же набор операций, что и для дискретного преобразования Фурье, Хартли и т.д.

Далее, что произойдет, если надо отфильтровать не одномерный сигнал, а, к примеру, двухмерный? Двухмерный сигнал – это изображение.

Рекурсивный цифровой фильтр для фильтрации изображений.

В этом случае изображение разбивается на элементы: