Диплом. Методика преподавания факультативного курса элементарных дифференциальных уравнений на базе 10-11-х классов


физико-математический факультет

ДИПЛОМНАЯ   РАБОТА

 «Методика преподавания факультативного курса элементарных дифференциальных уравнений на базе 10-11-х классов»

Руководитель_________________

 

Выполнил: студент _____ группы

№ зачетной книжки ____________

г. Тирасполь 2007 г.

Содержание

 

Введение……………………………………………………….3

  1. Производная и дифференциал……………………………..5

1.1. Физический и геометрический смысл производной…………………5

1.2. Понятие о дифференциале функции…………………………………11

  1. Первообразная и неопределенный интеграл…………………16

2.1. Первообразная функции……………………………………………..16

2.2. Неопределенный интеграл…………………………………………..17

2.3. Основные методы интегрирования………………………………….19

  1. Понятие о дифференциальном уравнении……………………28
  2. 1.Задачи геометрического и физического содержания,

приводящие к дифференциальным уравнениям……………………….28

3.2. Понятие о дифференциальном уравнении…………………………33

3.3. Задача Коши………………………………………………………….36

  1. Дифференциальные уравнения первого порядка………….39

4.1. Уравнения с разделенными и разделяющимися

переменными………………………………………………………………40

4.2.Однородные уравнения первого порядка……………………………52

4.3. Линейные уравнения первого порядка.

Уравнения Бернулли………………………………………………………62

4.4. Линейные однородные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами………………………………………..74

  1. Некоторые методические вопросы……………………………..84

Заключение………………………………………………………………….96

Список литературы………………………………………………………98

 

 

Введение

 

         В настоящее время школьный курс алгебры и начал анализа дает учащимся базовые знания математического анализа, необходимые для продолжения обучения в высших учебных заведениях. Объем излагаемого курса вполне отвечает требованиям факультетов ВУЗов, имеющих гуманитарную специализацию. Однако у абитуриентов, поступающих на технические специальности университетов, и в особенности, у студентов-первокурсников физико-математических факультетов зачастую возникают трудности в освоении математического анализа именно в силу вынужденной ограниченности школьной программы. Предлагаемый факультативный курс «Дифференциальные уравнения» не требует очень глубоких познаний в математическом анализе, и в то же время является, безусловно, полезным  для  будущего инженера, который, уже придя в стены высшего учебного заведения, имел бы  начальное представление об изучаемом предмете.

         В курс школьной программы не входит изучение методов интегрирования элементарных дифференциальных уравнений – материала по своей сути не слишком сложного, но достаточно объемного, и потому не включенного в и без того перегруженный образовательный базис. Однако, как уже указывалось выше, в спектре знаний и умений абитуриента, умение распознавать и решать некоторые виды дифференциальных уравнений отнюдь не лишнее. К тому же, следует помнить, что в курсе физики с результатами интегрирования дифференциального уравнения школьники встречаются уже в 9-м классе – при рассмотрении равноускоренного движения, хотя, конечно же, о том, что речь идее именно о дифуравнении преподаватели даже не упоминают.

         Разумным решением этой проблемы могло бы стать введение в школе на базе 11-х классов факультативного курса элементарных дифференциальных уравнений для тех учащихся, которые планируют продолжить образование в технических ВУЗах.

         В данной дипломной работе описывается попытка создания такого курса, адаптированного для общеобразовательных школ. Отправным пунктом при изложении нового материала является предположение, что учащиеся, выразившие желание записаться на факультативный курс, уже ознакомлены из школьного курса алгебры и начал анализа с понятиями производной и интеграла, то есть календарно уже прошли этот материал. Поэтому, курс не вводит их еще раз, а как бы логически продолжает изучение дисциплины, останавливаясь лишь на геометрическом и физическом их смыслах. Так как в высших учебных заведениях обосновывается вывод большинства формул интегрирования, а курс носит ознакомительный характер, то они даются учащимся в уже «готовом» виде, без доказательства. Аналогично, при рассмотрении методов решения простейших уравнений, акцент ставится именно на практической стороне – на умении распознать вид уравнения, и успешно его проинтегрировать, поэтому он не загружен теоретическими знаниями, а содержит большое количество уравнений, как решаемых вместе с учениками у доски, так и для самостоятельной работы.

         Курс рассчитан на 48 учебных часов, из которых 16 отводится на теоретические занятия, а 32 на практические семинары для закрепления освоенных способов решения. Начинается курс с повторения основных методов дифференцирования и интегрирования, что представляется необходимым для введения и освоения основных вопросов самого факультативного курса.

 

1. Производная и дифференциал

 

 

1.1. Физический и геометрический смысл производной

         Практика показывает, что, изучая курс начал математического анализа, учащиеся воспринимают производную, как некую абстрактную функцию, не имеющую с жизненными реалиями ничего общего. Разумеется, это не так. Очень важно чтобы с окончанием школы у будущего студента сформировалось четкое представление о производной, как о функции, выражающей зависимость между конкретными физическими параметрами. В то же время, множество учащихся успешно решают предлагаемые задания «по шаблону», не осознавая геометрической и физической значимости производной. Поэтому, курс изучения элементарных дифференциальных уравнений целесообразно начать именно с этого материала. Замечено также, что существуют проблемы с понятием предела функции. Студент, может ловко решать задачи на поиск  предела функции, не осознавая сути этого термина. Но для успешного поиска решения мало умения пользоваться известными формулами и методами – важно прочувствовать суть понятия бесконечного приближения. Вот почему, предполагая, что с определением производной учащиеся уже знакомы, поясним ее физический смысл, параллельно формируя у подопечных представления о пределе функции, непосредственно его не вводя.

         Здесь имеет смысл, вспомнить общее определение производной: производной функции  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует. Иначе говоря, производная представляет собой скорость изменения функции  относительно аргумента  в точке . Если в точке  функция имеет производную, то она называется дифференцируемой в этой точке.

 К понятию производной приводит задача о вычислении скорости прямолинейного неравномерного движения.

         Задача о скорости движения точки.

         Предположим, что точка  движется по некоторой прямой, которую примем за ось  (рис. 1). Каждому значению времени  соответствует определенное расстояние . Следовательно, можно сказать, что абсцисса  движущейся точки есть функция времени :

.

рис. 1. Прямолинейное движение точки

Это уравнение, называемое уравнением движения, оно выражает закон движения точки.  Зная закон движения, можно найти скорость движущейся точки для любого момента времени.

         Пусть в некоторый момент времени  движущаяся точка занимает положение , причем . В момент времени  точка займет положение , где . Отсюда . Следовательно, перемещение точки  за время  будет

.

         Если точка  в течение промежутка времени  двигалась в одном направлении, то  численно представляет собой путь, пройденный точкой за время . Отношение

выражает среднюю скорость изменения аргумента  за промежуток времени , обычно называемую средней скоростью движения точки. Если теперь начать уменьшать промежуток времени  все больше и больше, мы заметим, что отношение  стремится к некоторому числовому значению – пределу. При стремлении ,  стремится к определенной величине – скорости движения точки в момент времени . Обозначим ее . Итак, при ,

, или    ,

где запись обозначает то предельное значение, к которому стремится отношение  , при .

         Полученное выражение представляет собой производную функции  по переменной , т.е.

.

         Таким образом, скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени.

         Вообще, производная дает нам возможность изучать характер изменения функции. Чем больше модуль производной, тем резче изменяется функция  при изменении аргумента . Если производная положительна, то, очевидно, это означает, что с возрастанием аргумента , функция  также растет. Если производная отрицательна, это означает, что с возрастанием аргумента, функция убывает.

         Наряду с физическим смыслом, производная имеет так же и геометрическое толкование, непосредственно увязанное с понятием касательной.

         В школьном учебнике алгебры и начал анализа касательная вводится следующим остроумным способом: под касательной к графику функции  в точке  понимают прямую, с которой практически сливается график функции  в некоторой окрестности точки . Смутное сочетание «практически сливается» не является строго математическим и нуждается в пояснении.

        Пусть  — фиксированная точка данной непрерывной кривой  (рис. 2).

Рис. 2. Касательная к кривой.

Рассмотрим секущую , проходящую через точку . Может случиться, что когда точка  по кривой неограниченно приближается к точке , секущая  стремится к некоторому предельному положению , т.е. угол  при . Тогда предельная прямая называется касательной. Итак, касательной к данной непрерывной кривой в данной ее точке  (точке касания) называется предельное положение секущей , проходящей через точку , когда вторая точка пересечения  неограниченно приближается по кривой к первой. В том случае, если секущая  при  не имеет предельного положения, говорят, что касательной к данной линии в точке  не существует.

Задача о касательной.

         Зная уравнение непрерывной линии , найти уравнение касательной в данной ее точке , предполагая, что касательная существует.

         Наряду с точкой  возьмем на нашей линии другую точку  (рис. 3). Проведя секущую  и прямые  и , получим прямоугольный треугольник  с катетами  и .

Рис. 3. Задача о касательной.

Пусть секущая составляет с положительным направлением оси  угол ; тогда очевидно, . Из прямоугольного треугольника  определяем угловой коэффициент секущей

.

Пусть теперь ; тогда очевидно,  и секущая  стремится к своему предельному положению – касательной  в точке . Обозначим через  угол, образованный касательной  с положительным направлением оси . При  будем иметь:  и если касательная  не перпендикулярна оси , то в силу непрерывности тангенса получим

,

отсюда делаем вывод, что при , угловой коэффициент  стремится к  отношению . Это отношение называется производной функции  в точке , и записывается как  .

 при ,

или, используя обозначение предела:

.

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания, т.е.

.

Зная угловой коэффициент, легко написать уравнение касательной, используя известную формулу уравнения прямой по двум ее точкам. Касательная  проходит через точку касания , поэтому ее уравнение имеет вид:

,

где  и  — текущие координаты. Если обозначить для ясности координаты точки касания через , а текущие координаты как обычно, через  и подставить сюда значение углового коэффициента , получим следующее уравнение касательной:

,

где , и .

         Понятие производной также находит многочисленные применения в геометрии, химии, механике, химии, биологии и других науках. Как уже было сказано, материал, изложенный нами выше, способствует лучшему пониманию природы производной, но при непосредственном решении дифференциальных уравнений он не используется. Необходимым условием успешного выполнения заданий является знание учащимися производных элементарных функций. Простейшие производные изучаются в школьном курсе алгебры и начал анализа. В Приложении , в несколько расширенном виде, приводится их таблица. Возможно, преподавателю потребуется дополнительное занятие для развития у подопечных умения приводить сложные функции к дифференцируемому виду.

         В Приложении II приведен ряд примеров на нахождение производной функции.

1.2. Понятие о дифференциале функции

         Основным элементом синтаксиса при решении дифференциальных уравнений является запись . Редкий студент-второкурсник, автоматически вписывающий это отношение в тождества, может внятно объяснить математический смысл используемого им обозначения. Поэтому, еще до введения в обиход понятия неопределенного интеграла нужно остановиться на дифференциале функции, сформировав у учащихся правильное представление о нем.

         Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию . Важной характеристикой изменения этой функции на заданном конечном отрезке  служит ее приращение . Обычно для его вычисления, отрезок  разбивают на конечное число достаточно малых отрезков , и приближенно считают, что на каждом из них прирост функции происходит по закону прямой пропорциональности. Иными словами,

,

где  — некоторый коэффициент пропорциональности. Если при этом окажется, что погрешность  будет бесконечно малой величиной относительно , т.е.  при , то величина

называется дифференциалом функции  в точке . (Здесь буква  — знак дифференциала).

         Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на приращение независимой переменной, т.е.

.                                      (1)

         Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т.е. функции . Так как  для , то согласно формуле (1) имеем

,

т.е. дифференциал независимой переменной равен ее приращению.

Пользуясь этим, формулу (1) можно записать в следующем виде:

      ,                                                 (2)

или, разделив обе части на :

.

         Иными словами, производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу независимой переменной.

Рис. 4. Геометрический смысл дифференциала.

         Рассмотрим график функции  (рис. 4). Пусть  и  — две точки данной кривой. В точке  проведем касательную  к графику функции ( — точка пересечения касательной с ) и рассмотрим  с катетами  и (, ). Если через  обозначить угол, образованный касательной  с положительным направлением оси , то будем иметь

.

Но из геометрического смысла производной следует . Поэтому

.

         Таким образом, получаем, что дифференциал функции  в данной точке  равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда  получает приращение .

Рассмотрим теперь физическое значение дифференциала. Пусть известен закон движения точки  по оси : , где  — расстояние точки  от начала отсчета  и  — время, причем будем предполагать, что тока  движется в одном и том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени  точка  переместится в точку , пройдя при этом путь

.

Это есть истинное приращение пути.

         Согласно формуле (2), дифференциал пути  равен

.

         Но , представляющая собой производную пути по времени, есть скорость движения  в момент времени , поэтому

.

         Таким образом, дифференциал пути равен тому приращению пути, которое получится, если предположить, что, начиная с данного момента времени, точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

         Если это потребуется, примеры на нахождение дифференциала функции можно найти в любом учебнике математического анализа.

Свойства дифференциала.

         Приведем без доказательств основные свойства дифференциала, аналогичные уже изученным из школьного курса свойствам производной.

         I. Дифференциал постоянной равен нулю.

, где

         II. Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме дифференциалов этих функций.

         Если  и  — дифференцируемые функции от независимой переменной , то

.

         III. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между собой.

         Для функций  и , где , имеем: .

         IV. Постоянный множитель может быть вынесен за знак дифференциала, т.е.

, где .

         V. Дифференциал произведения двух сомножителей равен произведению первого сомножителя на дифференциал второго плюс произведение второго сомножителя на дифференциал первого.

         Если  и  — дифференцируемые функции от , то

.

         VI. Дифференциал дроби (частного) равен также дроби, числитель которой есть произведение знаменателя дроби на дифференциал числителя минус произведение числителя на дифференциал знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя дроби.

.

         VII. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

         Пусть . Положим  и, следовательно . Если  и — дифференцируемые функции, то

.

         VIII. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Первообразная и неопределенный интеграл

 

         2.1. Первообразная функции

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Интегральное исчисление решает обратную задачу: по заданному дифференциалу, а следовательно и производной неизвестной функции , требуется определить эту функцию. Иными словами, имея выражение

или соответственно

,

где  — известная функция, нужно найти функцию .

         Искомая функция называется при этом первообразной функцией по отношению к функции . Дадим ее определение: первообразной функцией для данной функции  на данном промежутке называется такая функция , производная которой равна  или дифференциал которой равен  на рассматриваемом промежутке.

         Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое. Докажем эту теорему.

         Пусть — некоторая функция, определенная на промежутке , и ,  — ее первообразные, т.е.

 и .

Отсюда

.

         Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно,

,

где .

         Проиллюстрируем сказанное с точки зрения геометрии: если  и  — первообразные одной и той же функции , то касательные к их графикам в точках с общей абсциссой  параллельны между собой: . (Рис. 5).

Рис. 5. Различные первообразные функции .

         Следствием из этого является то, что, прибавляя к какой-либо первообразной  для данной функции , определенной на промежутке , всевозможные постоянные , мы получим все первообразные для функции .

2.2. Неопределенный интеграл

         Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции  называется неопределенным интегралом от функции  или от дифференциального выражения  и обозначается символом

.

         При этом функция  называется подынтегральной функцией, а выражение  подынтегральным выражением.

         Пусть  — некоторая вполне определенная первообразная для функции . Как было показано, всякая другая первообразная этой функции имеет вид , где . Согласно определению неопределенного интеграла можно написать

,

где  и постоянная  может принимать любое значение, и поэтому называется произвольной постоянной.

         Из определения неопределенного интеграла вытекает, что если мы имеем дифференциальное уравнение (т.е. уравнение, содержащее дифференциалы) вида

,

где функция непрерывна в интервале , то общее решение этого уравнения при  дается формулой:

.

Основные свойства неопределенного интеграла.

I. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

.

II. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

.

         III. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

, при .

         IV. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.

         Если, например,  функции ,  и  непрерывны в интервале , то

,

при .

         Пользуясь тем, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, нетрудно получить таблицу простейших интегралов (Приложение ). Она станет незаменимым помощником при интегрировании различных функций, к которым приводят решения различных дифференциальных уравнений.

2.3. Основные методы интегрирования

         Необходимым условием успешного решения элементарных дифференциальных уравнений является умение применять различные методы интегрирования. Школьный курс предусматривает работу лишь с такими функциями, которые с помощью простейших математических преобразований могут быть приведены к табличным интегралам. В то же время, при решении дифференциальных уравнений, регулярно встречаются функции, к простейшим не приводимые. Поэтому для слушателя факультативного курса элементарных дифференциальных уравнений навык свободного владения всеми методами интегрирования является ведущим.

Преобразование дифференциалов к интегрируемому виду

Наряду с использованием табличных интегралов, иногда оказываются полезными следующие преобразования:

1. , где .

2. , где .

3. , где , .

4. .

5. .

6. .

7. Вообще, .

         Рассмотрим решение нескольких примеров на нахождение неопределенных интегралов:

         Пример 1.

, где .

         Пример 2.

.

         Пример 3.

.

         Пример 4.

.

         Пример 5.

.

         Пример 6.

.

         Пример 7.

.

         Пример 8.

,

где .

         Примеры для самостоятельного решения:

1)  ;             2) ;   3) ;                  4) ;

5) ;     6) ;          7) ;    8) ;

9) ;   10) ;     11) ;         12) .

Метод разложения.

         Если подинтегральная функция представляет собой алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то можно интегрировать каждое слагаемое отдельно.

         Пусть , тогда на основании IV свойства неопределенного интеграла, имеем:

.

         Слагаемые  и  стараются подобрать по возможности так, чтобы интегралы от них находились непосредственно. В результате интегрирования каждого слагаемого получаются константы  и. Так как сумма их тоже будет какой-то константой, то чтобы не писать при длинных вычислениях весь ряд констант, обычно их заменяют одной .

         Рассмотрим примеры:

         Пример 9.

.

         Пример 10.

.

         Пример 11.

.

         Пример 12.

.

         Пример 13.

.

         Пример 14.

.

         Примеры для самостоятельного решения:

1) ;       2) ;              3) ;

4) ;                      5) ;    6) ;

7);        8) ;           9) ;

10) ;          11) ;              12) .

Интегрирование посредством замены переменной (метод подстановки)

         Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования, в результате чего данный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла  можно заменить переменную  новой переменной , связанной с  подходящей формулой . Определив из этой формулы  и подставляя, получим:

.                  (3)

         Интеграл, стоящий в правой части равенства, может (но необязательно) оказаться проще интеграла, стоящего в левой, или даже табличным.

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования  будет найден, то, преобразовав результат к переменной , пользуясь исходной формулой , получим искомое выражение заданного интеграла.

         Например:

         Пример 15.

.

         Пример 16.

.

         Иногда формулу (3) можно применять справа налево:

,

где .

         Пример 17.

.

         На практике желательно не вводить новую переменную , а ограничиться использованием формулы (3).

         Пример 18.

.

         Пример 19.

.

         Примеры для самостоятельного решения:

1) ;                           2) ;                3) ;

4) ;                 5) ;                       6) ;

7) ;                        8) ;                          9) ;

10) ;                        11) ;           12) .

Метод интегрирования по частям

         Из формулы дифференциала произведения  интегрированием обеих частей равенства получаем формулу интегрирования по частям:

.                                 (4)

         Она показывает, что интеграл  приводится к интегралу , который может оказаться более простым, чем исходный.

         Рассмотрим несколько примеров:

         Пример 20.

.

         Пример 21.

.

         На практике полезно научиться применять формулу (4), не выписывая в стороне выражения функций для  и .

         Пример 22.

.

Нередко приходится применять интегрирование по частям несколько раз. Например:

Пример 23.

.

         Примеры для самостоятельного решения:

1) ;                           2) ;                   3) ;

4) ;                      5) ;           6) ;

7) ;                 8) ;                     9) .

         Мы рассмотрели, разумеется, не все методы интегрирования элементарных функций. Так в стороне остались интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен и интегралы сложных тригонометрических функций. Однако нашей задачей не ставилось научить слушателя курса мастерски владеть всеми методами интегрирования. Основной целью второй главы  была задача дать учащимся базовые навыки интегрирования, необходимые для решения элементарных дифференциальных уравнений. Без умения находить интеграл  той или иной функции никакой, даже самый одаренный ученик, не сможет довести до конца решение дифференциального уравнения, так как почти все они в конечном итоге сводятся к интегрированию элементарных функций. Поэтому учащиеся  не должны ограничиваться только решением предлагаемых заданий, а использовать материалы из другой учебной литературы для отработки всевозможных подходов к поиску решения задания, ведь во многом интегрирование – творческий процесс, и от умения увидеть подходящую замену, использовать рациональную подстановку зависит конечный успех. А этот навык прямо пропорционален количеству решенных разнообразных примеров.

 

 

 

 

 

 

 

3. Понятие о дифференциальном уравнении

 

3. 1.Задачи геометрического и физического содержания, приводящие к дифференциальным уравнениям

         Прежде чем дать определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий, рассмотрим две простые задачи, которые приводятся к нахождению функции, являющейся решением дифференциального уравнения.

         Задача о кривой с заданным угловым коэффициентом касательной

Найти кривую, проходящую через точку  и обладающую тем свойством, что в каждой ее точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания.

         Пусть  есть уравнение кривой, обладающей в каждой точке  указанным в задаче свойством. Обозначим через  угол, образованный касательной  с положительным направлением оси . (Рис. 6). Как было сказано, угловой коэффициент касательной  есть , и он равен производной от  по , так что

.

Рис. 6. Задача на поиск кривой по заданному угловому коэффициенту касательной

С другой стороны, по условию задачи имеем:

.

         Приравняв значения  из приведенных двух формул, получим:

.                                          (5)

         В этом уравнении неизвестная функция  стоит под знаком производной, или, что тоже, уравнение (5) содержит производную от неизвестной функции. Уравнения такого типа, содержащие производные искомой функции, называются дифференциальными уравнениями.

         Таким образом, наша задача свелась к нахождению функции, которая удовлетворила бы дифференциальному уравнению (5), т.е. обращала бы это уравнение в тождество. Такая функция называется решением дифференциального уравнения, а процесс нахождения решений – интегрированием этого уравнения.

         Решением дифференциального уравнения (5) является любая первообразная для функции . Например, решением будет

.                                           (6)

         Как нам уже известно, из интегрального исчисления, все первообразные для функции  и, следовательно, все решения дифференциального уравнения даются формулой

,                                             (7)

где  — произвольная постоянная.

         Мы получили бесконечное множество решений дифференциального уравнения (5), так как каждому конкретному числовому значению  соответствует свое решение. В частности, при , получаем решение (6).

         Искомая кривая  является графиком решения дифференциального уравнения (5); она называется интегральной кривой этого уравнения.

Рис. 7. Семейство интегральных кривых .

         Таким образом, интегральными кривыми уравнения (5) будет и парабола (6), и все параболы , получающиеся из нее сдвигом, параллельным оси  на  единиц (Рис. 7).

         Все эти параболы обладают одним общим свойством, выраженным дифференциальным уравнением (5): угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания.

         Вспомним, что искомая интегральная кривая удовлетворяет дополнительному условию: она должна проходить через заданную точку . (Рис. 8).

         Чтобы выделить из семейства интегральных кривых (7) искомую интегральную кривую (6), достаточно заменить в этом уравнении координаты  и  координатами точки  и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной , подставить его в уравнение (7); в результате получится искомая интегральная кривая.

Рис. 8. Искомая кривая .

         Имеем: , , .

         Таким образом, искомой будет парабола (Рис. 8).

         Рассмотрим другую задачу, также приводящую к решению дифференциального уравнения.

         Задача на нахождение закона движения материальной точки.                       

    Предположим, что материальная точка  движется по прямой, которую принимаем за ось , так что в момент времени  точка занимает положение . (Рис. 9).

Рис. 9. Задача на нахождение закона движения.

         Пусть известна скорость движения как функция от времени ; обозначим ее через  и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени . Требуется найти закон движения точки, т.е. зависимость  от  (Рис. 10), если известно, что в некоторый момент времени  точка занимает положение , так что .

Рис. 10. Закон движения точки.

Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени  равна производной от  по . С другой стороны, эта скорость равна . Поэтому

.                                                        (8)

         Это равенство есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя его, найдем интересующий нас закон движения в конечной форме.

         Интегрирование уравнения (8) состоит в нахождении всех первообразных для функции , которые могут быть записаны в виде:

.                                    (9)

         Выделим интересующее нас решение (движение), в котором  при . Для этого подставим эти значения в формулу (9). Получим:

,

откуда . Следовательно, искомым решением будет:

.

         Полученная формула дает искомый закон движения материальной точки. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (8) и начальными условиями нет.

3.2. Понятие о дифференциальном уравнении

         Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит производные или дифференциалы от неизвестной функции, и может содержать искомую функцию и независимую переменную.

         Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит частные производные по этим аргументам, то оно называется уравнением с частными производными. Уравнения в частных производных – это самостоятельная математическая дисциплина, которая представляет известную сложность даже для студентов вузов, поэтому включение их рассмотрение в факультативный курс абсолютно бессмысленно.

         Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Оба уравнения, рассмотренные нами в п. 3.1, являются уравнениями первого порядка. Уравнения , ,  являются соответственно уравнениями второго, третьего и четвертого порядков. Уравнение го порядка всегда можно, перенеся все его члены в левую часть, записать в виде:

.

         Здесь  — некоторая известная функция от своих аргументов.

         Если дифференциальное уравнение записать следующим образом:

,

то говорят, что оно задано в нормальной форме. Например, нормальной формой уравнения

будет                                      .

         В дальнейшем большинство определений мы будем приводить применительно к уравнениям второго порядка. Во-первых, более сложные уравнения в рассматриваемом курсе обсуждаться не будут, а во-вторых, слишком громоздкие формулы могут просто отбить у школьников желание приступать к решению любых дифференциальных уравнений.

         Всякая функция , определенная и непрерывная в интервале  вместе со своими производными до порядка, равного порядку данного дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество, справедливое при всех значениях  из интервала , называется решением этого уравнения в интервале .

         Так, функция  будет решением уравнения    в интервале  , если

.

         График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

         Рассмотрим несколько примеров уравнений и их решений (интегральных кривых).

         Пример 1.

Функция  является решением уравнения  в интервале  и во всяком конечном интервале, ибо . Следовательно, интегральной кривой данного уравнения является синусоида.

Пример 2.

Рассмотрим уравнение  .

Нетрудно убедиться, что функция  является решением уравнения в каждом из интервалов . В этих интервалах функция  непрерывна вместе со своей производной и имеет графиком равнобочную гиперболу, каждая из ветвей которой будет интегральной кривой (рис. 11).

Рис. 11. Интегральная кривая .

Как было сказано выше, процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. Если при этом удастся выразить все решения в элементарных функциях, то говорят, что уравнение проинтегрировано в элементарных функциях.

Если уравнение не интегрируется в элементарных функциях, но все его выражения выражаются через неопределенные интегралы от элементарных функций, то говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах. (Квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла). Например, все решения уравнения  даются формулой

.

         Здесь первый член справа есть какая-нибудь фиксированная первообразная для функции , а  – произвольная постоянная. Таким образом, это уравнение проинтегрировано в квадратурах.

Основная задача теории интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств.

3.3. Задача Коши

         На практике одной из наиболее часто встречающихся задач, связанных с решениями дифференциальных уравнений является задача Коши. Она состоит в следующем: требуется найти частный интеграл  или частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего  начальным условиям вида: ,  и   .

В указанных  начальных условиях задаются значения функции    и ее производной    при некотором заданном значении аргумента . По этим начальным условиям определяются значения произвольных постоянных   и  ,  входящих в общий интеграл уравнения   2-го порядка.

         У учащихся, решение задачи Коши не должно вызывать никаких затруднений, так как оно всегда сводится к элементарным математическим вычислениям, никак не связанным с интегрированием. В то же время, задача Коши является одной из базовых физических проблем, так как, устанавливая какой-либо закон или выводя формулу для определенного процесса, всегда приходится руководствоваться начальными условиями, определяемыми исходными данными задачи. Поэтому произвольная постоянная  не должна содержаться в итоговой функции в виде переменной, а выражаться вполне определенной величиной, которая, как раз и выплывает в результате решения задачи Коши.

         В качестве конкретного примера, рассмотрим еще одну физическую задачу, приводящую к решению задачи Коши.  Пример несколько сложен для понимания, так как при его решении используются дифференциалы второго порядка. Перед его рассмотрением можно пояснить, что если мы имеем некоторую функцию , то запись  обозначает не что иное, как ее вторую производную , аналогично первой производной , которая, в виде отношения дифференциалов записывается как .

 

Задача на составление уравнения движения тела

Составить и решить уравнение движения   тела, находившегося в покое в начале координат, если на него в момент времени  начала действовать сила  .  Масса тела  .

Из второго закона  Ньютона (  ) с учетом того, что ускорение   – есть вторая производная от координаты по времени, следует:

  или    .                          (10)

Умножаем обе части уравнения на   и интегрируем:

       ;

      .                       (11)

Повторяем операции умножения на  и интегрирования:

                         (12)

Константы интегрирования определим с помощью начальных условий, приведенных в тексте задачи:

1) При   t = 0  тело находилось в начале координат, т.е.  . Тогда из  (12)  находим

.

2) Тело в начальный момент времени находилось в покое, т.е. его скорость (первая производная от координаты по времени) равнялась нулю:    при   t = 0  или     Тогда из (11) следует

.

В результате, получаем окончательный результат

.

Уравнение (10), которое мы решили, – пример дифференциального уравнения второго порядка, выражение (12) – его общее решение. При заданных начальных условиях получено  частное  решение, приведенное выше.

 

4. Дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующий вид:

,

или в нормальной форме:

.                                          (13)

         Его общим решением будет некоторая функция

,

а общим интегралом  – неявно заданная функция

Здесь  — произвольная постоянная.

         Дифференциальное уравнение первого порядка также может быть задано через дифференциалы:

.                     (14)

         В зависимости от вида функции  в (13) или  функций  и  в (14) различают несколько классов дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделенными и разделяющимися переменными, однородные  и приводимые к однородным дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения и уравнение Бернулли и другие.

         Важно научиться четко определять вид дифференциального уравнения для успешного его решения. Естественно, все попытки решить, скажем, однородное уравнение методом решения уравнений с разделяющимися переменными ни к какому толковому результату не приведут. Поэтому мы уделяем большое внимание решению разнообразных уравнений каждого цикла, не акцентируя особо на теоретических выкладках и доказательствах истинности того или иного метода.

 

4.1. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

 

         Уравнение первого порядка  называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции  и  разлагаются на множители, зависящие только от одной переменной:

.

         В таком уравнении путем деления его членов на  переменные разделяются:

.

         После разделения переменных, когда каждый член уравнения будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

,

где  .

Уравнения с разделяющимися переменными являются наиболее простыми из всех видов дифференциальных уравнений, приводящих к       интег-рированию. Как правило, идентификация их не вызывает у учащихся затруднений, так даже сильно завуалированное уравнение с разбросанными в беспорядке аргументами и коэффициентами после двух-трех неудачных арифметических преобразований предстает перед решающим в явном виде, не вызывающим никаких сомнений в том, что данное уравнение является именно уравнением с разделенными переменными.

Единственной трудностью можно считать тот факт, что зачастую этот вид уравнений, как впрочем, и любой другой, нередко приводит к дробным интегралам, содержащим сумму квадратов аргумента и коэффициента в знаменателе. Но тут уже следует говорить о знании или незнании учеником таблицы простейших интегралов, в которой все необходимые для интегрирования формулы приведены. Либо же, под знаком интеграла может оказаться достаточно сложная функция, в явном виде не интегрируемая. Тут тоже будет идти речь об умении слушателя курса точно определить метод, которым данный интеграл следует вычислять. Ни в коем случае не следует приучать учеников, столкнувшихся со сложным подынтегральным выражением, оставлять ответ в виде квадратур, так как все примеры из любых учебных пособий подразумевают наличие вменяемого решения в общем виде.

         На практике, можно привести задачу из механики, приводящую к решению уравнения с разделяющимися переменными:

Задача на нахождение уравнения кривой, для точки, вращающейся вокруг оси с постоянной угловой скоростью.

Материальная точка массы  расположена на кривой , вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Найти уравнение кривой , если материальная точка находится в равновесии в произвольном положении кривой (рис. 12).

Рис. 12. Задача на нахождение уравнения кривой вращающейся точки.

         На точку  действуют две силы: сила тяжести  и центробежная сила , где  — масса материальной точки,  — ускорение силы тяжести, а  — угловая скорость вращения. В положении равновесия, равнодействующая  этих двух сил направлена по нормали к кривой .

         Пусть искомое уравнение кривой  является некоторой функцией . Угловой коэффициент касательной к кривой  в точке , как известно, определяется значением производной  в этой точке. Следовательно, угловой коэффициент нормали к кривой  в точке  будет равняться   .

         Угловой коэффициент равнодействующей же будет равен:

.

         Следовательно:

.

         Заменяя производную  отношением дифференциалов , получаем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

;

;

;

         Разделяя переменные, получим:

.

         Интегрируя это уравнение, получим:

;

.

         Независимая переменная  в данном случае будет определять расстояние между всевозможными кривыми семейства.

         Несмотря на некоторую сложность формулировок, для решения рассмотренной задачи вполне достаточно базовых знаний, предоставляемых курсом физики средней школы.

         Рассмотрим также еще одну актуальную физическую задачу, приводящую к решению  дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, интересную, на наш взгляд тем, что при его интегрировании учащимся придется столкнуться с преобразованиями подынтегрального выражения, необходимыми для получения возможности вычисления интеграла стандартными методами.

Задача на определение достижения наивысшего положения ракеты, выстреленной вверх с учетом сопротивления воздуха.

Ракета выстрелена вертикально вверх с начальной скоростью  м/сек. Сопротивление воздуха замедляет ее движение, сообщая ракете отрицательное ускорение, равное , где  — мгновенная скорость ракеты, а  — аэродинамический коэффициент. Определить время достижения ракетой наивысшего положения.

Примем движение ракеты условно за движение некоторой материальной точки . Тогда общее ускорение ракеты  при движении вверх составится из ускорения свободного падения  и аэродинамического ускорения :

.                       (15)

Рис. 13. Задача на определение наивысшего положения ракеты.

Но также известно, что ускорение есть первая производная от скорости по времени, т.е.:

.

Тогда уравнение (15) примет вид:

.

Получаем уравнение с разделяющимися переменными, разделяя которые, получаем:

;

.

Для интегрирования этого уравнения проведем предварительно его преобразования:

;

.

Это уравнение уже можно почленно проинтегрировать:

,

откуда получаем общее решение уравнения (15):

.

         Нам необходимо определить частное решение дифференциального уравнения (найти значение произвольной переменной ) по начальным условиям задачи, то есть решить задачу Коши. Для условий данной задачи при , м/сек, величина , следовательно, частное решение примет вид:

.                     (16)

В момент достижения верхней точки полета , мгновенная скорость ракеты  равна нулю. Подставляя в формулу (16) ,  и м/с2, определяем:

.

Именно через это время  ракета и достигнет своего наивысшего положения, при известном заранее коэффициенте аэродинамического сопротивления .

         Как было не раз сказано выше, для успешного овладения методами решения дифференциальных уравнений, учащимся необходимо прорешать большое количество однотипных заданий. Поэтому ниже приведем ряд уравнений с решениями.

Пример 1.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

.

Для разделения переменных, произведем деление обеих частей уравнения на :

;

Теперь проинтегрируем его почленно:

;

;

.

Пример 2.

.

Представим производную  в виде отношения дифференциалов:

.

         Умножим обе части уравнения на :

.

         Разложим коэффициент при  на множители:

.

         Далее разделяем переменные:

,

и, интегрируя, находим общий интеграл:

;

;

.

         Пример 3.

.

         Представляем производную  через дифференциалы:

.

         Умножаем все слагаемые на :

.

         Раскладываем коэффициенты при  и  на множители:

.

         Разделяем переменные:

,

и почленно интегрируем:

;

.

         Пример 4.

         Проинтегрировать уравнение, при начальных данных , :

.

         Подставим в уравнение вместо  отношение дифференциалов:

.

         Умножим обе части уравнения на :

         Теперь уравнение можно смело интегрировать:

;                               (17)

.

         Решаем задачу Коши для заданных начальных условий. Полагая здесь , , ищем значение константы :

,

откуда

.

         Следовательно, искомое частое решение есть:

.

            Примечание: зная правила нахождения частного интеграла, этот же результат можно получить и прямой подстановкой пределов интегрирования в формулу (17):

;

;

;

;

.

         Пример 5:

         Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными:

.

         Преобразовываем заданное уравнение:

.

         Делим обе части на :

.

         Интегрируем обе части уравнения:

;

;

;

;

         Представим произвольную переменную  в виде натурального логарифма другой произвольной переменной :

;

;

;

.

.

         Пример 6.

         Найти общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными:

.

         До сих пор мы рассматривали уравнения, содержащие производную от функции , то есть . В условии этого уравнения мы видим уже производную , которая может поначалу смутить. Однако ее отличие от производной  состоит в том, что она определяется обратным отношением дифференциалов, т.е. . Следовательно, наше уравнение можно записать таким образом:

.

         Проведем преобразования, приводящие нас к разделению переменных:

.

         Теперь обе части уравнения можно интегрировать:

.

         В таком виде оба интеграла вычислить нельзя, поэтому и знаменатель правой части и подкоренное выражение представим в виде суммы квадратов:

,

или, после сворачивания формул:

.

         Тут мы уже можем применить табличные формулы интегрирования:

;

;

;

.

         Таким образом, мы получили общее решение. Можно провести еще некоторые его преобразования, чтобы избавиться от сразу двух произвольных переменных  и , но громоздкость их ставит под вопрос их целесообразность.

         Примеры для самостоятельного решения.

Найти общие интегралы следующих дифференциальных уравнений:

7). ;                 13). ;

8). ;                             14).

9). ;                                    15). ;

10). ;          16). ;

11). ;                                       17). ;

12). ;                               18). .

4.2.Однородные уравнения первого порядка.

         Уравнение первого порядка  называется однородным, если  можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнение вида .

         Часто, если дифференциальное уравнение имеет вид :

,

где  и  — некоторые функции от  и , причем отношение  можно представить, как функцию отношения , то оно определенно является однородным.

         Отношение  обычно принято обозначать буквой , хотя это не существенно и в разной литературе можно встретить и обозначения через , и через

         Так, например, уравнение:

— однородное, так как

.

         С помощью подстановки , откуда , всякое однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

         В учебной литературе обыкновенно практические задания приводятся в тесной привязке к теории, и, если параграф учебника посвящен однородным уравнениям, то у учащихся не возникает вопросов по поводу выбора метода их решения. Более того, во множестве заданий прямо сказано: «Найти общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка». Но на практике же, не всякое однородное уравнение наводит на мысль о своей причастности к этому классу задач. Очень часто вид уравнения бывает завуалированным. Поэтому учащиеся, первым делом, путем элементарных арифметических преобразований проверяют его на причастность к уравнениям с разделяющимися переменными. И лишь после нескольких неудачных попыток разделить переменные путем элементарных арифметических преобразований, ученик переходит к мысли о том, что, возможно, следует сменить метод. Вторым, приходящим в голову, классом уравнений являются однородные, после чего начинаются попытки выделить в уравнении отношение переменных , или обратное ему . Здесь можно сказать лишь одно: если предложенное уравнение действительно является однородным, то упомянутое отношение обязательно в конце концов всплывет.

         Способы приведения заведомо однородных уравнений к виду  зачастую носят налет искусственности, но, в своем множестве, они все же однотипны и число их не так уж и велико – вот почему мы снова и снова делаем упор на решении возможно большего числа дифференциальных уравнений для того, чтобы в памяти учащихся отложилось максимальное количество способов преобразования уравнений к однородному виду. Это позволит им избежать лишней траты времени на попытки использования заведомо ложных, никуда не ведущих вариантов.

         Следует также обратить внимание на чисто человеческое свойство: с трудом опознав уравнение, как однородное, и проведя серию сложных преобразований, проинтегрировав многоэтажную дробь, учащийся вполне может, утерев пот рукой, так и оставить решение в виде тождества, содержащего переменные  и , совершенно забыв вернуться обратной подстановкой  ко все-таки ожидаемому результату, выражающему зависимость , а не . Такие случаи в практике преподавания курса, естественно, допускать нельзя.

         В элементарной физике, однородные дифференциальные уравнения встречаются несколько реже, чем уравнения с разделяющимися коэффициентами, однако нам удалось найти одну задачу в качестве примера:

Задача на определения формы зеркала.

         Пусть источник света помещен в точке . Какова должна быть форма сечения зеркала, чтобы отраженные лучи были параллельны оси ?

Рис. 14. Задача на определение формы зеркала.

         Пересечем поверхность зеркала плоскостью, проходящей через данную точку  параллельно данному направлению. Выберем данную точку за начало прямоугольной системы координат, расположенных в этой плоскости, направив ось  по данному направлению отраженных лучей, и найдем уравнение кривой , полученной при пересечении искомой поверхности указанной плоскостью (Рис. 14).

         Так как угол падения равен углу отражения, то . Но , поэтому треугольник  — равнобедренный и .

         Написав уравнение касательной :

и полагая в нем , найдем . Длина отрезка .

         Приравнивая найденные выражения  и , получаем дифференциальное уравнение кривой :

,   или   .

         Последнее уравнение – однородное. Найдем его общий интеграл. Производим замену: . Тогда ,  и . Производим подстановку:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

         Возвращаемся к подстановке:

;

;

.

         Это – уравнение параболы, и, следовательно, зеркало в сечении должно быть параболическим.

         Рассмотрим примеры решения однородных дифференциальных уравнений:

Пример 19.

Проинтегрировать следующее уравнение:

.

         Разрешим данное уравнение относительно производной:

;

;

;

;

         Мы привели исходное уравнение к виду , т.е. установили, что производная является функцией только отношения переменных , а следовательно, уравнение является однородным.

         Вводим новую функцию , полагая, что , и, следовательно, , а , или , и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

;

.

         Разделяем переменные

и интегрируем:

;

;

;

;

;

         Возвращаемся к подстановке  и исключаем вспомогательную функцию :

;

;

.

Пример 20.

         Решить дифференциальное уравнение:

.

         Вначале установим, что данное уравнение – однородное;

;

;

.

         Теперь стало очевидным, что , следовательно, исходное уравнение является однородным. Производим замену :

;

.

         Разделяем переменные:

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

;

;

;

;

.

         Исключаем вспомогательную переменную :

;

.

         Пример 21.

         Проинтегрировать уравнение, при условии, что :

.

         Выясняем, что это уравнение однородное:

;

;

;

.

         Получаем, что , полагаем  и, следовательно, .

;

.

         Разделяем переменные и интегрируем результат:

;

;

         (Здесь знак, стоящий перед произвольной переменной , несущественен, но, забегая наперед, удобнее перед ней взять минус).

;

.

         Возвращаясь к переменной , находим общий интеграл уравнения:

;

;

.

         Теперь ищем частный интеграл уравнения по начальному условию . Подставим значения  при :

;

.

         Следовательно, искомый частный интеграл уравнения будет иметь следующий вид:

.

         Пример 22.

         Найти общее решение следующего дифференциального уравнения:

.

         Убеждаемся в том, что уравнение однородное. Для этого производим очевидные преобразования:

.

         , следовательно, вводим новую переменную . Тогда

;

;

.

         Теперь, разделив переменные, уравнение можно проинтегрировать:

;

;

;

;

;

.

         Возвращаемся к переменной :

;

— это и будет искомым общим решением заданного уравнения.

         Приведем примеры для самостоятельного решения:

23). ;                              27). ;

24). ;                            28). ;

25). ;                29). ;

26). ;                       30). .

4.3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

         Линейным называется уравнение вида:

,                                 (18)

где  и  — известные функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первой порядка относительно функции  и ее производной .

         Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными посредством замены функции  произведением двух вспомогательных функций:

.

         Тогда производная  будет равняться:

.

         Подставив эти два выражения в исходное уравнение (18), мы получаем новое уравнение, неразрешенное относительно двух функций  и :

.

         Множители  можно сгруппировать следующим образом:

.                               (19)

         Так как функция , вообще говоря, является произведением двух функций  и ,    мы вольны выбрать одну из них, скажем , так, как нам заблагорассудится. При этом вид функции  будет определяться уравнением (19).

         Этот вопрос с методической точки зрения важен, так как, казалось бы, такая несложная истина, с трудом доходит даже до студентов. Их вводит в смущение именно произвольность выбора функции . Привыкшим к тому, что математика – наука точная, подобная свобода действия им кажется чуть ли не кощунством. В то же время, элементарный арифметический пример поможет учащимся разобраться в сути действия, не потрясая их нежные натуры:

         Положим мы имеем функцию , вся область допустимых значений которой заключается в одном натуральном числе  4, т.е,

.                                            (20)

         Представим теперь эту функцию в виде произведения двух, также натуральных функций  и :

,

одну из которых, скажем , мы выбираем произвольно.

Совершенно очевидно, что функция  теперь будет определяться равенством (20). Допустим, мы полагаем, что . Из равенства (20) однозначно следует, что функция . Если же мы, поддавшись каким-то соображениям, примем , то опять же, из условия  и равенства (20), может существовать только одно допустимое значение для второй функции: . Наконец, попытка приравнять , приведет нас, ограниченных двумя условиями к тому, что .

Итак, придя к взаимному соглашению, что, решая дифференциальное уравнение (18) и представляя функцию  в виде произведения двух вспомогательных функций  и , одну из которых, в данном случае , мы выбираем произвольно, продолжим изучение метода решения линейных уравнений первого порядка. (Хотя вообще мы не ограничены только функцией  — с таким же успехом, при необходимости, мы могли бы произвольной выбрать функцию ).

Выберем функцию  таким образом (нам пока еще неведомым), чтобы в уравнении

.                            (19)

выражение в квадратных скобках равнялось нулю. Т.е.:

.

         Мы получили дифференциальное уравнение, в котором легко разделяются переменные:

;

.

         Это уравнение легко интегрируется, причем константу интегрирования, которая все равно потом всплывет в другой своей ипостаси при решении второго уравнения, во избежание ненужной путаницы принимаем равной нулю.

         Теперь возвращаемся к уравнению (19). Так как было сказано, что функция  выбрана нами таким образом (и это значение нами уже вычислено), чтобы выражение в квадратных скобках равнялось нулю, то уравнение (19) преобразуется к следующему виду:

,

или проще:

.

         Подставляем в это уравнение вычисленное нами значение функции  и снова получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

         Оно также легко интегрируется, но здесь константу интегрирования следует оставить, и, в итоге, мы получаем еще одну, необходимую нам функцию:

.

         Остается лишь перемножить вычисленные значения  и , чтобы найти искомый общий интеграл заданного уравнения (18):

.

         К этому же классу уравнений относят так же и уравнения Бернулли, основным, и единственным отличием которых от уже рассмотренных нами уравнений типа (18), является наличие в правой части дополнительного множителя :

.

         Метод решения уравнений Бернулли абсолютно идентичен уже рассмотренному, поэтому не имеет смысла останавливаться на нем еще раз. Та же подстановка  фигурирует и здесь.

Задача на движение тела в вязкой среде.

         В физике, с уравнением Бернулли мы сталкиваемся при исследовании движения тела в вязких средах. В таких случаях, сила сопротивления F зависит от скорости :

.

Если равнодействующая всех остальных сил равна нулю, (невесомость), то:

;

;

;

.

         А это есть не что иное, как уравнение Бернулли, в котором  и  — некоторые функции от , более известные нам, как  и  соответственно.

         Рассмотрим несколько примеров решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бернулли:

         Пример 31.

         Решить уравнение:

.

         Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем , тогда:

.

         Подставляем полученное значение в исходное уравнение:

.

         Вынося за скобки , приходим к следующей записи:

.

         Так как одну из вспомогательных функций мы вольны выбирать произвольно, выбираем в качестве  какой-либо частный интеграл уравнения

.

         Тогда для отыскания  получаем уравнение:

.

         Решая это уравнение, найдем :

;

;

;

.

         Произвольную постоянную  принимаем равной нулю , поэтому:

;

.

         Подставляя  во второе уравнение и решая его, найдем , как общий интеграл уравнения:

;

;

;

;

.

         Зная  и , находим искомую функцию :

;

.

         Пример 32.

         Решить уравнение:

.

         Убедимся, что данное уравнение является линейным. Для этого выполним некоторые его преобразования:

;

.

         Приняв, что , а , замечаем, что уравнение является линейным: , если мы не будем рассматривать как обычно , как функцию от , а наоборот — , как функцию от .

         Теперь заменяем функцию  по формуле: , где  и  — функции от :

,

или, в другой записи:

.

         Выполняя известную подстановку, имеем:

;

.

         Теперь для нахождения  и , мы имеем два уравнения:

1)        и       2) .

         Решаем первое уравнение:

;

;

;

;

.

         Подставляем найденное  во второе уравнение :

;

;

.                     (20)

         Интеграл  найдем интегрированием по частям:

.

         Полученное значение интеграла подставим в выражение (20) и проинтегрируем его:

.

         Перемножив вычисленные  и , найдем общий интеграл заданного уравнения:

.

         Пример 33.

         Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

.

         Разделив обе части данного уравнения на :

,

убеждаемся в том, что это уравнение Бернулли: , где , а :

.

         Заменяя функцию  по формуле , имеем производную , и  подставляем в исходное уравнение:

,

или

.

         Отсюда получаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1)                  и                  2) .

         Решая первое уравнение, находим , как его простейший частный интеграл:

;

;

;

;

;

.

         Подставляя найденное значение  во второе уравнение и решая его, находим , как общий интеграл этого уравнения:

;

;

;

;

;

;

;

.

         Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения:

.

Пример 34.

Найти частное решение уравнения Бернулли:

,  .

         Даже не глядя на вид уравнения, уже из условия нам известно, что заданное уравнение является уравнением Бернулли, поэтому метод решения нам сразу понятен. Полагая, что , и , будем иметь:

;

.

         Выбираем функцию  так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Тогда получаем первое уравнение:

.

         Как всегда при решении линейного уравнения, первую константу интегрирования полагаем равной нулю. Получаем:

;

;

.

         Найденное значение , подставляем в исходное уравнение. Таким образом, получим второе уравнение, интегрирование которого приведет нас к нахождению функции :

;

;

;

;

;

.

         Следовательно,

 —

общее решение исходного уравнения.

         Найдем теперь частное решение, используя начальное условие :

;

;

.

         Таким образом, искомое частное решение:

.

         Приведем несколько примеров для самостоятельного решения учащимися, или совместного их решения с преподавателем:

35). ;                                      40). ;

36). ;                        41). ;

37). ;       42). ;

38). ;                               43). ;

39). ;                        44). .

4.4. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

         Факультативный курс элементарных дифференциальных уравнений завершается изучением метода решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Вообще, линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, называются уравнения вида:

,                            (21)

где  и  – непрерывные функции от аргумента  или постоянные, а  — вторая производная  от функции .

         Понятие второй производной уже должно быть известно слушателям курса из школьного учебника алгебры и начал анализа, но нелишним будет напомнить, что . Например, для функции:

,

первая производная будет равняться:

,

а вторая вычислится, как производная от производной, т.е. от уже полученного нами выражения:

.

         Общий интеграл (решение) линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (21) имеет вид:

,                                      (22)

где  и  — линейно независимые частные интегралы этого уравнения, а  и  — некоторые константы.

         Тут следует выделить вопрос методической целесообразности введения понятия линейного однородного уравнения второго порядка вообще. Так как в курсе рассматриваются только линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то преподавателю, возможно, стоит сразу перейти непосредственно к последним. Принципиальное же ознакомление учащихся с уравнением (21) сразу вызывает ряд вопросов. Например, при рассмотрении уравнения (22) возникает проблема толкования понятия линейной зависимости. В курсе математики средней школы такие термины не фигурируют. Так же, можно попасть в неудобное положение, выслушав пожелание узнать, откуда все-таки берутся эти частные интегралы  и ?

            Примечание: конечно, можно на примитивном уровне ознакомить учащихся с линейной зависимостью. Так, в общем случае, две переменных величины   и  связаны линейной зависимостью в том случае, если , где  и  — некоторые постоянные величины. Аналогично, можно заявить: если функция  выражается через функцию  по следующему закону: , где , , то функции  и  — линейно зависимы.

         Поэтому, оставляя решение этого проблемы за каждым отдельным преподавателем, перейдем сразу к линейным однородным дифференциальным уравнениям второй степени с постоянными коэффициентами.

         Ими называются уравнения вида:

,                               (23)

где  и  — некоторые константы.

         Общий интеграл такого уравнения находится путем составления его характеристического уравнения:

,

         Мы получаем квадратное уравнение, которое всегда имеет два корня – действительных или комплексных —  и . (Изучение комплексных чисел включено в школьную программу по математике).

         Всего возможны три случая:

1. Оба корня: и , и  действительны и различны (). В этом случае, общий интеграл уравнения (23) будет выражаться формулой:

,

где  и  — константы интегрирования.

2. Оба корня: и , и  действительны и совпадают (). Тогда общий интеграл уравнения (23) будет следующим:

.

3. Уравнение имеет два комплексных корня: , . В таком случае, решение уравнения (23) будет иметь следующий вид:

.

         Эти три случая описывают все возможные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, и не должны вызвать у учащихся никаких трудностей, так как этот класс уравнений не требует от решающего умения вычислять интегралы, которые, как раз и представляют собой основную проблему, встающую при решении дифференциальных уравнений.

Наиболее ярким примером такого уравнения из курса физики, можно назвать уравнение гармонических колебаний.

 

Задача на составления уравнения движения пружинного маятника.

         Составить уравнение движения груза, подвешенного на пружине, один конец которой закреплен, если известен коэффициент упругости пружины  и масса груза

         Подвешенный на пружине груз представляет собой пружинный маятник (Рис. 15).

         В состоянии равновесия, сила тяжести уравновешивается силой упругости, т.е:

.

Здесь  – деформация пружины.

         Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние , то удлинение пружины станет равным . Тогда результирующая сила примет значение:

.

         Учитывая условие равновесия , получим, что

.

         Уравнением движения груза будет второй закон Ньютона:

,

где также  — результирующая сила, а следовательно:

.

Рис. 15. Пружинный маятник.

         Так как , а , то

.

         Зная, что , получаем:

,

или:

.

         Коэффициент  положителен, поэтому его можно представить в виде:

.

         (Введенное нами обозначение  — частота собственных незатухающих колебаний).

Применяя полученное обозначение, получим дифференциальное уравнение колебания:

,

где  — функция от .

         Решим его. Очевидно, что оно является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составив его характеристическое уравнение:

.

         Отсюда:

;

, .

         Оба корня – мнимые числа, поэтому общий интеграл уравнения будем искать по формуле:

.

         Домножим и разделим правую часть этого равенства на выражение :

.

         Легко заметить, что для прямоугольного треугольника с катетами  и , и углом  между катетом  и гипотенузой , выражение  будет определять синус этого угла, а выражение  — его косинус. Иными словами:

.

         Свернув формулу в скобках и применив подстановку , мы придем к классической форме уравнения гармонических колебаний:

,

где  — амплитуда колебаний,  — их частота, а  — начальная фаза.

         Рассмотрим примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Пример 45.

Решить уравнение:

.

         Определив по виду, что данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, составляем его характеристическое уравнение:

.

         Корни  этого квадратного уравнения находим по теореме, обратной  теореме Виета:

,       .

         Оба корня – действительные числа, причем они не совпадают, поэтому искомый общий интеграл заданного уравнения будет равняться:

.

         Пример 46.

         Найти общий интеграл следующего уравнения:

.

         Запись обозначает вторую производную функции  по , поэтому данное уравнение мы можем записать следующим образом:

.

         Имея линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, составляем его характеристическое уравнение:

.

         Его можно записать иначе:

,

а следовательно:

.

         Имея два совпадающих действительных корня, записываем общий интеграл уравнения:

.

         Пример 47.

         Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

.

         Составляем характеристическое уравнение данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

         Ищем дискриминант: . Следовательно, его корни – комплексные числа и они равняются:

, .

         Для обоих корней, , . Значит, общее решение уравнения:

.

         Пример 48.

         Решить уравнение:

.

         Запишем это уравнение в привычном виде:

.

         Его характеристическое уравнение:

.

         Дискриминант .

         Характеристические корни:

, .

         Оба корня – действительные числа, и они различаются, поэтому общий интеграл будет таким:

.

         Пример 49.

         Решить уравнение:

.

         Составив характеристическое уравнение

,

свернем его:

.

         Отсюда следует, что

 —

два действительных совпадающих корня. Значит решение уравнения:

.

         Пример 50.

         Решить уравнение:

.

         Дискриминант характеристического уравнения

равен .

         Его корни:

, .

         Имея два комплексных корня характеристического уравнения, записываем общее решение заданного дифференциального уравнения:

.

         Примеры для самостоятельного решения:

51). ;     55) ;          59). ;

52). ;             56). ;       60). ;

53). ;      57). ;            61). ;

54). ;  58). ;                  62). .

 

5. Некоторые методические вопросы

 

         Традиционно считается, что методика обучения математике призвана ответить на вопросы: «кого учить?», «зачем учить?», «чему учить?», «как учить?». В этом разделе мы попробуем, в первую очередь, не вдаваясь в классические формулировки, рассмотреть перечисленные вопросы с точки зрения их приложения к разработанному курсу.

         По вопросу «кого учить?» уже было немало сказано во введении – курс направлен на тех детей, которые рассчитывают по окончании 11-го класса средней школы продолжить свое обучение в технических и физико-математических вузах. Определяясь с возрастом слушателей курса, следует учесть тот факт, что множество понятий, используемых в курсе, как базовые, и поэтому внутри его не раскрываемых, становятся известны учащимся лишь к середине-концу 11-го класса. Поэтому ученики именно этих классов и будут составлять основной состав слушателей. С другой стороны, в 10-х классах всегда найдутся один – два одаренных ребенка, способных самостоятельно, с минимальной помощью преподавателя, освоить необходимые для их подключения к работе курса понятия и методы. Это в конечном итоге зависит от необъятного множества факторов: от контингента учащихся школы, от степени занятости ведущего факультатив преподавателя, от изучаемой программы по математике (не секрет, что, хотя, на сегодняшний день принята общегосударственная программа по математике для общеобразовательных школ, в отдельно взятых учреждениях поурочные разработки все равно разнятся), в конце-концов от желания сильного ученика взваливать на себя дополнительную нагрузку. Вот почему, не исключая полностью возможности вовлечения в работу десятиклассников, основной упор мы все же делаем на 11-й класс, на осуществление профессионализации их математического образования.

         Вопрос «зачем учить?» также вскользь уже прозвучал. Раскроем его более подробно. Какова конечная цель, преследуемая нами при создании данного факультативного курса? Ответ не может быть однозначным. Во-первых, конечно же, мы стараемся подготовить абитуриентские кадры, способные успешно продолжить обучение в высших учебных заведениях. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения в обучении  физико-математическим специальностям являются одними из базовых курсов, и успешное овладение изучаемыми предметами во многом зависит от степени овладения этими двумя дисциплинами. И имеет смысл заранее подготовить абитуриента к знакомству с ними. Во-вторых, наш факультатив тесно привязан к вопросам физики, которые, в свою очередь, в своем большинстве решаются с помощью дифференциальных уравнений. В-третьих, обучение математике не ставит перед собой только практическую цель. Математика, как наука, развивает логическое, абстрактное мышления, умение выделять основную цель, ставить перед собой задачу и искать пути ее решения… Поэтому, курс может быть полезен просто для общего развития учащихся, расширяя их кругозор и закрепляя чисто математические аспекты их сознания.

         «Чему учить?». Этот вопрос требует определения содержания математического образования, в нашем случае – содержания факультативного курса. У ознакомившегося с его структурой специалиста может возникнуть ряд вполне резонных вопросов: для чего в курс включен раздел, посвященный производной? почему так много места отведено изучению способов интегрирования, если их можно было (да и следовало бы) включить в отдельный, самостоятельный факультатив? какими соображениями мы руководствовались, выбирая  группу уравнений, с которыми будут ознакомлены слушатели?

         На первый вопрос ответ был дан нам в самом первом разделе. Кратко говоря – необходимо подготовить поле деятельности для педагога, убедиться в том, что дети правильно понимают термин «производная» и четко представляют себе ее сущность. Второй вопрос также частично раскрыт в своем месте. Да, следовало бы создать отдельный, вводный факультативный курс, посвященный способам и методам интегрирования. Однако какая из средних школ, в которых постоянно идет внутренняя борьба за распределение вариативной части базисного развивающего плана, сможет себе позволить введение сразу двух дополнительных образовательных курсов? Добиваясь этого, можно окончательно испортить свои отношения с директором и коллегами, но маловероятно, чтобы даже такие жертвы дали педагогу дополнительный час в неделю. Поэтому, краткое ознакомление с методами интегрирования включено нами в данный курс. Даже не отработав навык интегрирования на этом этапе, учащийся сможет «отшлифовать» его, решая дифференциальные уравнения в дальнейшем.

         Почему в состав курса включены именно уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения первого порядка и линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, а другие группы уравнений оставлены в стороне? Сам курс носит название «Методика преподавания факультативного курса элементарных дифференциальных уравнений». «Элементарных» здесь ключевое слово. Мы не ставили перед собой цели научить слушателей решать возможно большее число типов уравнений первого порядка, а выбрали те, которые, на наш взгляд, являются простейшими и наиболее часто используемыми на практике. Так, из уравнений первого порядка «за бортом», осталось уравнение в полных дифференциалах и, соответственно, уравнения, приводимые к уравнениям в полных дифференциалах посредством применения интегрирующего множителя, уравнении Лагранжа и Клеро и другие. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами нашли свое место в данном курсе благодаря своей исключительной простоте, а также потому, что именно они описывают колебательные процессы, изучаемые в курсе физики 11 класса. В то же время линейные неоднородные уравнения второго порядка мы не рассматривали, так как метод их решения не так прост, и, кроме того, требует достаточно большого числа аудиторных часов. Выбранный нами ряд уравнений, на наш взгляд, достаточен для введения учащихся в предмет.

         Наконец, последний вопрос методики обучения математике: «как учить?». Это наиболее обширная проблема, так как она предполагает выявление методов, средств и форм обучения. Основных методов всего шесть. Это:

— эксперимент;

— изучение и использования зарубежного и отечественного опыта обучения учащихся;

— анкетирование, беседы с учителями и учащимися;

— анализ;

— моделирование.

         Сам разработанный курс, по своей сути является экспериментальным. Нами был произведен обзор большого количества литературы, печатных изданий и статей во Всемирной Сети Интернет. Несмотря на проделанный объем работы, мы нигде не обнаружили упоминаний или ссылок на то, что подобный курс был разработан и опробован где-либо. Поэтому изучение и использование опыта возможно только в рамках использования изданных учебных пособий по математическому анализу для высших учебных заведений, а так же математических статей в научной прессе.

         Вообще, все параграфы курса построены по единой схеме:

1. Теоретическая часть.

2. Пример, устанавливающий связь изложенного материала с физикой.

3. Примеры решения заданий.

4. Задания для самостоятельной работы.

         В рамках курса у нас не было возможности привести количество примеров, необходимое для полноценного освоения изучаемых методов, не раздувая сам курс до размеров бестселлера. Поэтому каждый преподаватель, ориентируясь на возможности и потребности своих подопечных должен вести самостоятельную работу по самообразованию и поиску заданий. Основными источниками примеров для нас явилось «Руководство к решению задач по математическому анализу» Г.И.Запорожца и «Варианты контрольной работы по курсу «Дифференциальные уравнения»» Ю.А.Баренгольца. В этих изданиях приводятся достаточно несложные задания, решение которых не должно вызвать у учащихся затруднений при должном прилежании. Дальнейший выбор дополнительных источников с заданиями  лежит целиком на плечах преподавателя. Однако следует иметь в виду, что в учебных пособиях для технических вузов уровень заданий выше, чем у предложенных нами, а, следовательно, учащиеся могут не справиться с их решениям. Подводя итог сказанному, заметим, что вопрос использования отечественного и зарубежного опыта остается открытым. Квалифицированному педагогу можно лишь посоветовать вплотную заняться разработкой собственных заданий для совместного их решения с подопечными.

         Метод анкетирования вряд ли можно назвать применимым к факультативному курсу изучения дифференциальных уравнений. Он может выявить лишь отношение каждого отдельного индивидуума к предмету. Как показала наша практика, опрос, проведенный нами среди учеников и преподавателей, дал примерно одинаковое количество строго однозначных ответов: «да» или «нет». Ни личного отношения к предложению вводить в заведении факультативный курс элементарных дифференциальных уравнений, ни конкретных методических предложений, нами услышано не было. И преподаватели, и учащиеся отнеслись к этому вопросу индифферентно, что, в принципе, было ожидаемо, учитывая региональное расположение школы.

         Учитывая все выше сказанное, основным методом был и остается подробный анализ уже проделанной и еще предстоящей работы. Завершая изучение очередного метода интегрирования или нового вида дифференциальных уравнений, следует делать контрольный срез, показывающий степень усвоения учащимися нового материала, в виде самостоятельной или контрольной работы. Затем, анализируя их, преподаватель делает вывод о необходимости повторных практических занятий, в случае неудовлетворительных результатов, либо о переходе к новой теме.

         Вообще, готовясь к любому занятию, преподаватель должен учитывать множество факторов, определяющих его ход. Во-первых, конечно, важна дидактическая типология урока. Наиболее распространенными видами являются:

— урок усвоения новых знаний;

— урок усвоения навыков и умений;

— урок применения знаний, навыков и умений;

— урок обобщения и систематизации знаний;

— урок проверки, оценки и коррекции знаний, навыков и умений;

— комбинированный урок;

         Структура каждого параграфа разработанного нами курса, очевидно, тесно перекликается с перечисленными типами уроков. Так, теоретическая часть прекрасно укладывается в рамки урока усвоения новых знаний; физическое приложение рассматриваемой проблемы – это урок применения знаний, навыков и умений; сюда же мы можем отнести и ту часть параграфа, в которой приводятся примеры решения задач; ну а раздел с заданиями для самостоятельной работы можно использовать и для проверки и коррекции знаний, навыков и умений. Можно заметить, что мы не назвали уроки усвоения навыков и умений, обобщения и систематизации знаний и комбинированный, но непосредственный выбор типологии очередного урока – дело каждого педагога в зависимости от его личного календарного планирования факультативных занятий.

         Другая типология, учитывающая специфику современных уроков математики – типология С.Г.Манвелова. Он группирует наиболее распространенные типы уроков в блоки:

         В первый блок уроков  он включает: урок ознакомления с новым материалом; урок закрепления изученного; урок применения знаний и умений; урок обобщения и систематизации знаний; урок проверки и коррекции знаний; комбинированный урок.

         Во второй блок уроков  отнесены: урок-лекция, урок-семинар, урок-практикум, урок-консультация, урок-зачет.

         В третий блок уроков  включены: урок с дидактической игрой, урок-ролевая игра, урок-экскурсия, урок-дискуссия.

         Наконец, в четвертый блок уроков  вошли: урок-соревнование, урок — деловая игра, интегрированный урок, театрализованный урок.

         Эта типология нам представляется более предпочтительной, так как она намного шире охватывает возможные формы проведения уроков математики. Можно заметить, что предыдущая типология практически полностью составила первый блок, который, на фоне второго, уже не кажется нам столь удачным.

         В самом деле – чтение факультативного курса элементарных дифференциальных уравнений может проходить только по университетской схеме. Мы уже отмечали, что не все типы из предыдущей классификации применимы по отношению к нашей дисциплине. Рассматривая вторую типологию далее, мы видим, что и третий блок практически неприменим на практике изучаемого курса, так как, во-первых, курс жестко ограничен объемом вариативной части школьного компонента. Во-вторых, изучаемый материал достаточно серьезен, чтобы придавать ему игровую форму. В-третьих, задания сильно различаются по уровню сложности (два уравнения одного и того же вида могут приводить один к простому – другой к громоздкому интегралу), так что и соревновательный элемент вводить в занятия курса бессмысленно. По этим же причинам мы считаем, что и уроки четвертого блока не смогут найти применения у преподавателя, читающего курс элементарных дифференциальных уравнений.

         Методом исключения мы подошли к тому, что только второй блок полностью подходит для нашей цели. Урок-лекция – для изложения новой темы. Урок-семинар – для рассмотрения его физических приложений и совместного с учащимися решения примеров. Урок-практикум – для самостоятельного решения заданий слушателями. Урок-консультация – для работы со слабоуспевающими или пропустившими занятия детьми. И урок-зачет для контроля знаний, умений и навыков.

         Вообще, полагаться только на грамотную разработку классического занятия неверно. Если преподаватель работает самостоятельно, и излагая новый материал, и решая демонстрационные примеры, хороших результатов ожидать не приходится. Важна также правильная организация самостоятельной работы учащихся на уроке. Полагаться только на внутреннее побуждение сознательного слушателя получить полноценные знания нельзя. Любой учащийся – и школьник 5-го класса, и выпускник 11-го, и студент вуза, и даже преподаватель, проходящий повышение квалификации – подсознательный нарушитель дисциплины, так же как солдат без лопаты – потенциальный преступник. Поэтому грамотное стимулирование учащихся к самостоятельной деятельности необходимо, так как, во-первых, она занимает ребенка, не позволяя ему отвлекаться на постороннюю деятельность, а во-вторых, стимулирует его к дальнейшей работе, в случае успешного завершения текущего задания.

         Специфика курса позволяет в полной мере воспользоваться всей совокупностью типов самостоятельной работы, которых, как известно, пять:

1) алгоритмический;

2) с указанием способа выполнения;

3) распознавание;

4) обобщение;

5) творчество.

         Так, использование первого типа возможно на начальном этапе изучения новой темы. Продемонстрировав метод решения очередного вида дифференциальных уравнений на нескольких примерах, преподаватель таким образом дает учащимся последовательность действий, с точным предписанием всех шагов, которые им надлежит выполнить. Как мы видим, метод вполне применим, тем более, что решение любого из четырех предложенных нами в факультативном курсе видов дифференциальных уравнений отлично поддается алгоритмизации.

         Второй тип, содержащий указания, определяющие основное направление работы, можно использовать, например, для дачи детям рекомендаций по приведению подынтегрального выражения к интегрируемому виду, или по преобразованиям уравнения, которые следует выполнить перед тем, как применить изучаемый метод их решения. Например, нами уже отмечалось, что большинство однородных уравнений требует предварительного выполнения арифметических преобразований, которые, зачастую, явно не видны.

         Распознавание говорит само за себя. Учащиеся должны четко уметь определять, во-первых, вид дифференциального уравнения, а во-вторых, способ интегрирования полученных в результате интегралов. Если по окончании курса, слушатель не сможет по внешнему виду, либо после нескольких элементарных преобразований четко отнести уравнение к одному из изученных видов, работу преподавателя следует считать неудовлетворительной, даже если после указания типа, учащийся сумел уравнение проинтегрировать и получил его общее или частное решение.

         Четвертый тип – обобщение ориентирован на умение выделять свойства объекта, проводить анализ их связей и отношений. В нашем случае этот типа самостоятельной работы фигурирует неявно, будучи тесно связанным с распознаванием. Умение определять вид уравнения проявится только после обобщения – анализа множества уравнений с выявлением общих для их групп черт.

         Наконец, творчество – наиболее сложный тип самостоятельной работы. Как уже отмечалось ранее, самостоятельно решение дифференциального уравнения – процесс во многом творческий сам по себе. Механическое повторение заученных действий ничему тут не поможет. Приведение уравнения к дифференцируемому виду, замена переменной, выбор константы интегрирования – все это чисто творческие аспекты одной и той же большой работы – решения дифференциального уравнения. Если уравнение допускает неоднозначную, но верную подстановку; если оно может быть разрешено как относительно , так и относительно ; если возможен различный выбор константы интегрирования – учащийся будет получать различные, но верные результаты, в зависимости от своего выбора. Например, задача на определение формы зеркала в параграфе об однородных дифференциальных уравнениях предполагает три варианта размещения константы интегрирования , которую можно вынести либо под знак одного из натуральных логарифмов, либо взять ее самостоятельный натуральный логарифм, и только один из вариантов дает нам в качестве ответа параболу, заданную в явной форме.

         Наконец, мы считаем, что вершиной освоения методов решения дифференциальных уравнений для учащихся является умение их составлять, то есть выполнять ту же последовательность действий, что и при решении, только в обратном порядке. Если учащимся предложить придумать линейное дифференциальное уравнение (но не бездумно лепить к знакам функции и производной коэффициенты и многочлены, а создать уравнение, приводящее к берущемуся интегралу), это может поставить их в тупик. Однако такой вид творческой работы весьма эффективен и продуктивен, так как при его выполнении слушателям придется перебрать множество вариантов, каждый из которых следует проверить, то есть проинтегрировать и узнать, решается ли подобное уравнение.

Таким образом, мы можем заявить, что творческим аспектом самостоятельной работы учащихся при прохождении ими курса элементарных дифференциальных уравнений пренебрегать нельзя, так как он способен дать лишь положительные результаты.

Однако любой вид самостоятельной работы, по большей части, придется проводить со всей группой сразу, так как попытки индивидуализировать ее приведут к раздуванию графика и отставанию по программе. В строгом графике факультатива, в котором каждый час расписан заранее, преподаватель не может позволить себе дать одному ребенку уравнение, решаемое за пять минут, а второму такое, на которое и часа не хватит. А отдельно выделенные консультативные часы, в течении которых следует подтягивать отстающих, тратить на то, чтобы другие догоняли группу не разумно. Другое дело – домашнее задание, при разработке которого следует учитывать индивидуальные особенности каждого подопечного. Ребенок дома не так ограничен временными рамками, как преподаватель на уроке, и поэтому может позволить себе потратить больше времени на распознавание уравнения и поиск метода его решения. Но опять же, даже лидирующим слушателям не стоит давать на дом уравнения, требующие громоздких преобразований или дающие в итоге интеграл, требующий последовательно провести три интегрирования по частям. Скорее всего, учащийся во время выполнения работы заскучает и бросит ее, так и не доведя решение до конца.

Таким образом, мы приходим к мысли, что наиболее эффективны самостоятельные работы с единой основой, которая, в зависимости от уровня подготовки учащихся, будет корректироваться с помощью наборов указаний к выполнению предложенного задания. При подборе заданий можно исходить из трех уровней усвоения знаний, умений и навыков: первый состоит в осознании нового типа уравнений, способа его решения и его запоминании; второй представляет усвоение способов применения знаний по образцу на семинарских занятия, включая как легко опознаваемые вариации изучаемого типа уравнения, так и завуалированные, требующие преобразований; третий заключается в готовности творчески применять полученную информацию в новой ситуации. Так, например, решая уравнения второго порядка, в которых производная входит в виде , учащийся не должен долго думать, столкнувшись с уравнением, содержащим такую вторую производную: .

Корректировка заданий позволяет расширить диапазон этих базовых уровней усвоения знаний, умений и навыков.

Таким образом, методика чтения факультативного курса элементарных дифференциальных уравнений на базе средней общеобразовательной школы не слишком отличается от чтения любого раздела математики, если преподаватель будет учитывать специфику курса, аудитории и излагаемого материала. Твердые знания самого педагога, четко спланированное занятие и внимание по отношению ко всем учащимся могут и должны принести успешные результаты.

 

Заключение

 

         Нами была проделана работа по созданию курса изучения методов решения элементарных дифференциальных уравнений на базе 10-11-х классов средней общеобразовательной школы.

Разработка любой методики по умолчанию включает в себя так же и эксперимент. К сожалению, разработанный курс не удалось реализовать на практике, поэтому нельзя судить напрямую об его эффективности. Однако предварительно, можно сказать что задачи, поставленные нами во введении к данной дипломной работе, были выполнены полностью.

Итогом работы стала методика, включающая в себя теоретические вопросы, конкретные физические примеры, задачи для совместного решения их с преподавателем и задачи для самостоятельного решения.

Первая часть курса необязательна и рекомендуется к применению в тех случаях, когда знания слушателей о производной вызывают сомнения.

Вторая часть посвящена первообразной и неопределенному интегралу. Основной мыслью ее было научить слушателей курса распознавать и использовать методы интегрирования.

Третья часть курса практически полностью теоретическая и носит вводный характер, вводя понятие дифференциального уравнения и основных задач, с ним связанных.

Наконец, четвертая часть – непосредственное изучение видов дифференциальных уравнений и методов их интегрирования. Это и есть основа курса, для перехода к которой было рассмотрено столько предварительных вопросов.

По изначальному замыслу, в ходе работы факультатива слушатели знакомятся с четырьмя видами дифференциальных уравнений: с уравнениями с разделенными и разделяющимися переменными, с однородными уравнениями первого порядка, с линейными уравнениями первого порядка и уравнениями Бернулли, с линейными однородными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Все четыре вида уравнений были рассмотрены нами достаточно подробно, с применением необходимого количества примеров их решения. Объем дипломной работы не позволил включить в нее то количество уравнений для самостоятельной работы, которое потребуется слушателю курсов для выработки устойчивого навыка решения каждого из изученных видов, однако, в качестве примера, каждый параграф был снабжен  нами некоторым числом уравнений для самостоятельного решения.

Учитывая тот факт, что вопрос о создании подобного курса ранее никем не ставился, факультатив можно назвать инновационным, эффективность которого может быть показана в будущем только в ходе практического эксперимента на базе одной из средних общеобразовательных школ Республики.

Список литературы

1.     Баренгольц Ю.А., Фокша Е.М., Чуйко Л.В. Варианты контрольной работы по курсу «Дифференциальные уравнения». – Тирасполь.: ПГУ им. Т.Г.Шевченко, 2005

2.     Баренгольц Ю.А., Панченко И.Ф. Дифференциальные уравнения. Конспект лекций для студентов. – Тирасполь.: ПГУ им. Т.Г.Шевченко, 2006.

3.     Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. – М.: Наука, 1989.

4.     Виленкин Н.Я. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1984.

5.     Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1096.

6.     Гутер Р.М. Дифференциальные уравнения. – М.: Высшая школа, 1976.

7.     Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972.

8.     Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – Тобольск.: ТГПИ им. Д.И.Менделеева, 1997.

9.     Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966.

10.                        Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. – М.: Наука, 1974.

11.                        Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1989.

12.                        Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1989.

13.                        Манвелов С.Г. Разработка и проведение урока математики. Книга для учителя. – Армавир.: АГПИ, 1996.

14.                        Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. – М.: Просвещение, 1988.

15.                        Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1. – М.: Наука, 1964.

16.                        Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2. – М.: Наука, 1964.

17.                        Понтрягин Л.С. Дифференциальные уравнения и их приложения. – М.: Наука, 1988.

18.                        Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика, колебания и волны. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1970.

19.                        Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 3.Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц.  – М.: Наука, 1970.

20.                        Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе. – М.: Просвещение,2002.

21.                        Саранцев Г.И. Метод обучения как категория методики преподавания//Педагогика. – 1998. — №1. – С. 28.

22.                        Семенов Е.Е. Размышления об эвристиках//Математика в школе. – 1995. — №5. – С. 39.

23.                       Харитонова И.В. Самостоятельные работы по теме «Неопределенный интеграл»//Математика в школе. – 1996. — №2. – С. 43.