Курсовая. Основные вопросы теории поверхностей в Eвклидовом пространстве.


Основные вопросы теории поверхностей в Eвклидовом пространстве

1.     Определение и различные  уравнения поверхности.

2.     Уравнение сферы в географических координатах

3.     Касательная плоскость к параметризованной поверхности.

4.     Касательная плоскость к неявной поверхности.

 

1. Определение. Называем простой областью множество точек плоскости, гомеоморфных открытому кругу.

Определение.
Множество точек пространства называется простым куском поверхности, если оно гомеоморфно простой области при некотором топологическом отображении (гомеоморфизме).

Определение. Называем поверхность объединение конечного числа простых кусков поверхности.

         Множество  называется связным, если для любых двух точек существует путь с концами , целиком содержащийся в . Простой кусок поверхности называют также односвязной поверхностной областью.

рис.1

         Рассмотрим поверхность , или ее часть, которая может быть отображена  топологически на плоскую область . Пусть относительно  произвольная точка  поверхности задана координатами . И пусть в гомеоморфизме между точками поверхности  и простой области этой точке соответствует точка , прямоугольные координаты которой, . Если такое отображение задано, то говорят, что поверхность  параметризована, а величины  и  называют криволинейными координатами точки .

рис.2

Итак,  — прямоугольные координаты точки ;  — ее криволинейные координаты.

         В силу непрерывности отображения, всякой линии на плоскости   соответствует некоторая линия на поверхности . В частности, прямым  и  соответствуют такие линии поверхности , которые называются параметрическими или координатными линиями данной параметризации.

         В силу однозначности отображения через каждую точку параметризованной поверхности  проходит одна и только одна линия семейства  и одна и только одна линия семейства . Оба этих семейства вместе образуют правильную сеть, которую называют координатной сетью. Задание криволинейных координат  точки  параметризованной поверхности  определяют положение этой точки, а значит и положение ее радиус-вектора . Другими словами, радиус-вектор любой точки параметризованной поверхности  является функцией криволинейных координат этой точки:

                                                       (1)

         Равенство (1) называется векторным уравнением параметризованной поверхности . Векторное уравнение (1) равносильно трем координатным уравнениям:

            —                                           (2)

         параметрические уравнения параметризованной поверхности .

         Если из (2) исключить параметры  и , то в результате получим уравнение вида

          —                                           (3)

         неявное уравнение плоскости , известное еще с курса аналитической геометрии.

2. Рассмотрим конкретный пример вывода различных уравнений сферы, параметризованной географическими координатами, если ее радиус равен .

рис. 3

         Если учесть на сфере параллели и меридианы, то получаем на ней (исключая полюсы) правильную координатную сеть.

         Пусть центр сферы радиуса  совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат . Начальный меридиан поместим в плоскости  и будем отсчитывать долготу  от положительного направления оси  к положительному направлению оси . Экваториальную плоскость совместим с плоскостью , а широту   примем положительной для точек с положительной аппликатой  и отрицательной в противном случае.

         Из  находим радиус-вектор произвольной точки , принадлежащей сфере, прямоугольные декартовы координаты которой , а криволинейные .

                                  (*)

         , а поэтому , . Найдем  и .

          — прямоугольный: . .

.

. Подставим  и  в (*). Получаем:

        —               (1)

векторное уравнение параметризованной сферы.

                        —                           (2)

параметрические уравнения параметризованной сферы.

         Исключая из (2) параметры  и  получим неявное уравнение, для этого возведем обе части равенства (2) в квадрат и сложим почленно, получаем:

.

         Итак,

                  —                              (3)

неявное уравнение сферы.

3. Касательная плоскость к параметризированной поверхности.

         Говорим, что прямая  касается поверхности  , если она касается некоторой кривой , принадлежащей поверхности  в точке . Пусть  параметризированная поверхность  задана векторным уравнением

 ,                                                         (1)

а принадлежащая ей кривая  задана векторным уравнением . Учитывая, что точки кривой  принадлежат как , так и , для точек кривой координаты  и  которой являются функциями от параметра

                       —                             (2)

внутренние уравнения кривой , принадлежащей поверхности .

          и  из (2) удовлетворяют уравнению (1), т.к. , а следовательно                   —                              (3)

также уравнение кривой .

рис. 4

         Направляющий вектор касательной  к кривой  есть . Учитывая уравнение (3) кривой , получаем:

                                        (4)

Правая часть равенства (4) есть линейная комбинация двух векторов  и , которые для краткости обозначим через

,                                              (5)

и назовем координатными векторами, соответствующими той точке, криволинейные координаты которой подставляются при вычислении. Заметим, что координатные векторы  и  являются направляющими векторами касательных в  к координатным линиям параметра  и  соответственно. Учитывая введенные обозначения, (4) можно переписать в виде:

                                            (4’)

Равенство (4’) представляет собой разложение направляющего вектора касательной к  в точке  по координатным векторам  и , являющимся направляющими векторами касательных к координатным линиям в той же точке .

                                         (4’’)

Так как через проходит бесконечно много кривых , (4’’) говорит о том, что все касательные ко всем кривым  в точке  лежат в одной плоскости, которую и называют касательной к  в . Чтобы найти уравнение касательной плоскости к поверхности , примем во внимание, что  она содержит векторы  и , и нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен как , так и . Таким вектором может быть

                                                          (5)

         Если взять  за текущую точку касательной плоскости, а ее радиус-вектор обозначить через , то для  и  векторное уравнение запишется в виде:

, или ,                             (6)

или, в координатах

,                                     (7)

или, если , то .

         Прямая  называется нормалью к  в точке .

         Рассмотрим пример:

         Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к прямому геликоиду  в точке .

         Решение:

         Уравнение касательной плоскости будет .

. Нормалью к  в точке  называем прямую, перпендикулярную к касательной плоскости в .  Нормаль  — уравнение нормали.

4. Касательная плоскость к S заданной неявным уравнением.

         Пусть, поверхность  задана неявным уравнением:

 ,                                                 (1)

и пусть на поверхности (1) задана регулярная кривая  своими параметрическими уравнениями:

,                                                   (2)

или векторным уравнением . Так как точки кривой  принадлежать поверхности , то их координаты должны удовлетворять уравнению (1).

                —                        (3)

внутренне уравнение кривой. Продифференцируем по  обе части равенства (3). Получаем:

.                                 (4)

         Обозначим частные производные , , . тогда (4) примет вид:

.                              (5)

Здесь ,  и  — производные координат вектор-функции  , являющейся  векторным уравнением кривой . . Но , т.к. кривая регулярная и  — направляющий вектор касательной к кривой .

         В неособой точке поверхности  вектор  и зависит лишь от координат точки, в которой рассматривается функция, и не зависит от кривой , проходящей через эту точку. Вектор  называется вектором нормали к поверхности , а равенство (5) показывает, что  перпендикулярен касательной к кривой  в этой точке, т.к. это их скалярное произведение . Из того, что через данную точку поверхности  можно провести бесконечное множество кривых, ей принадлежащих, а  перпендикулярен к каждой касательной этих кривых в точке , следует, что все эти касательные лежат в одной плоскости, которая называется касательной к поверхности  в точке .

         Пусть  — точка касания. Составим уравнение касательной плоскости к :

                                                (1)

в точке . Если  — произвольная точка касательной плоскости, то обозначая ,  — радиус-векторы точек  и , имеем, что

 и  —      (6).

векторное уравнение касательной плоскости. Или:

                            (7)

рис. 5

Прямая, проходящая через  параллельно  называется нормалью к поверхности. Если  — произвольная точка нормали, то ее каноническое уравнение имеет вид:

                                            (8)

Рассмотрим пример.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллипсоиду  в точке .

; ; .

Касательная плоскость: , или . , т.к. .

Уравнение нормали имеет вид: .

Задачи к лекции №3: 1056, 1057, 1058, 1059, 1065, 1069 (Атанасян) ч. II.

1.     Длина дуги кривой в пространстве и на поверхности.

2.     Первая квадратичная форма поверхности.

3.     Угол между двумя линиями на поверхности.

4.     Площадь поверхности.

1. Пусть в Евклидовом пространстве задана гладкая кривая  векторным уравнением  и пусть  — дуга на этой кривой, длину которой надо вычислить. Для этого разделили дугу  на  частей получая таким образом, точки , , …, . Радиус-векторы этих точек обозначим через , , …, , , хорды , ,…,. Сумму длин этих хорд обозначим , причем  равно приблизительно длине дуги стягивающей эти хорды.

рис.6

         Если считать, что каждое приращение функции   соответствует какому-то приращению  аргумента, то можно записать, что:

                                              (1)

При , .                                   (2)

         На основе (2) можем утверждать, что  отличается от  на бесконечно малую величину , т.е.

  .                                                (3)

         Подставляя (3) в (1) получим

  .                                      (4)

         При , самое большое значение положительного  стремится к нулю, и

                                            (5)

         Так как кривая  гладкая, то предел (5) существует и называется длиной дуги .

         Если точка  определена параметром , а  — , то в правой части (5)
имеется интегральная сумма, т.е. . При , .                  (6)

         Рассмотрим пример.

         Вычислить длину дуги кривой , если , ,

, .

Решение.

.

.

Записать в естественной параметризации уравнение кривой , заданной векторным уравнением в произвольной параметризации:

                                   (**)

Решение.

 — уравнение кривой в .

.   .

.

.

. Логарифмируем: .

Подставляем найденные  и  в (**):

 — уравнение кривой  в естественной параметризации.

         Самостоятельно решить задачи: Атанасян ч.II. 954, 956, 957, 958.

         Найдем формулу вычисления длины дуги в случае, когда кривая  принадлежит поверхности , выраженной через криволинейные координаты  (в случае вычисления  через параметр , формула (6) найдена).

         Когда была введена натуральная параметризация , мы показали, что

                                          (7)

 и .

         Т.к. кривая , то внутреннее уравнение имеет вид , а потому  и формула (7) примет вид:

.

         Обозначим скалярные квадраты: , , а скалярное произведение , тогда

.                                  (8)

      —                    (9)

формула вычисления длины дуги через .

         Пример.

         Вычислить длину дуги большого круга, лежащего на сфере радиуса  между точками , .

         Решение.

         Уравнение сферы .

         Для большого круга  имеем уравнение .

.

. . .

рис. 7

.

.

; ; .

Заметим, что для сферы  — первая квадратичная форма сферы.

2. Первая квадратичная форма поверхности.

Выражение квадрата дифференциала дуги

                                 (1)

называется линейным элементом поверхности или ее первой квадратичной формой, и обозначается через , или через . Отметим некоторые важные неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты линейного элемента

         Из того, что ,  следует, что для всякой неособой точки поверхности , ,  и  положительны. Применяя тождество Лагранжа  для векторов  и  получаем:

.

Эти три неравенства соответствуют тому факту, что основная квадратичная форма положительна и не может обращаться в нуль при  и  не равных нулю одновременно. Квадратичные формы, обладающие этим свойством, называются положительно определенными.

         Выражение  называется дискриминантом линейного элемента. В предыдущем примере мы нашли линейный элемент сферы . На примере, покажем использование квадратичной формы поверхности при нахождении длины дуги кривой , принадлежащей поверхности .

         Пример.

         Дана квадратичная форма поверхности , . Найти периметр криволинейного треугольника, принадлежащего этой поверхности и образованного линиями .

         Решение.

рис. 8

         Найдем координаты вершин треугольника:

, . Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем:
и . .

.

.

Для  имеем ;

для  имеем ;

для  имеем .

Найдем

Заметим, что  и так как в выражения для , как и для  входят  и , то значения для  равно значению для , т.е. .

         Найдем , для которой :

.

.

         Задачи: 1083 (а, б, в, г, д для случая, когда ).

3. Угол между двумя линиями на поверхности.

Определение. Если две линии  и  пересекаются, то углом пересечения называют угол между их касательными в точке пересечения. (Угол между касательными равен углу между направляющими векторами касательных). Предположим, что кривые  и  лежат на поверхности  и пересекаются в некоторой точке . Направляющие векторы касательных к этим кривым обозначим соответственно через , . Искомый угол определяется по обычной формуле , в которую следует подставить   и .

.

рис. 9

         В итоге получаем:

                 (1)

         Будем говорить, что кривая  на поверхности , заданной регулярной вектор-функцией  в точке  имеет направление , если вектор  является направляющим вектором касательной к кривой в этой точке.

         Найдем угол между координатными линиями правильной сети. Для линии  имеем направление , для  — . Подставляя эти значения (, ) в (1), получаем:

       —                             (2)

косинус угла между координатными линиями.

         Из (2) следует, что координатная сеть ортогональна тогда и только тогда, когда . Ортогональную сеть образуют параллели и меридианы на сфере (см. пример).

         Рассмотрим пример. (1095, Ат.).

         Доказать, что поверхность  является гиперболическим параболоидом и вычислить угол между  и  в их точке пересечения.

         Решение.

 — гиперболический параболоид.

. Вычтем из первого уравнение второе почленно:

. Т.к. , то .

         Найдем , .

         Для , для . Найдем :

.

 в точке .

 в точке .

, , .

, .

, .

№ 1097 (Ат).

Найти угол между линиями , ,  поверхности с .

Решение.

         , , .

         , .

         Для , для .

, , .

В точке  , .

, т.к. в точке  .

.

         Пример 3.

         Найти угол между линиями  и  поверхности  в их точке пересечения.

         Решение.

         . .

         Для , для .

.

 в точке  .

 в точке  .

, , .

.

На дом: 1096, 1101, 1109.

4. Площадь поверхности.

         Первая квадратичная  форма поверхности позволяет также вычислить площадь любого ее простого куска. Из курса математического анализа известно, что площадь  простого куска поверхности, заданной уравнением

                                                       (1)

вычисляется по формуле:

,                                   (*)

где  — та область плоскости , на которую гомеоморфно отображается рассматриваемый кусок поверхности.

         Запишем уравнение (1) в векторной форме:

         —              (2)

уравнение поверхности, параметризованное криволинейными координатами .

         Вычислим производные вектор-функций  по  и  и найдем дискриминант первой квадратичной формы :

, .

. .

.

 .

         Подставляем найденное значение в формулу (*):

                                          (**)

         Согласно тождеству Лагранжа, , поэтому

.

         Итак, если мы знаем первую квадратичную форму поверхности, то можем найти площадь куска поверхности. Как видим,  применяется при вычислении: длины дуги кривой  принадлежащей поверхности, угла между двумя линиями  и , принадлежащих поверхности и площади куска поверхности.

         Рассмотрим пример.

         Найти  куска сферы , вырезанного координатными плоскостями первого октанта.

         Решение.

рис. 10

 — первая квадратичная форма сферы.

.

.

1094 (б).

Вторая квадратичная форма поверхности

1. Нормальная кривизна кривой

2. Вторая квадратичная форма поверхности.

3. Индикатриса Дюпена.

4. Формула Эйлера.

5. Характеристическое уравнение поверхности. Полная и средняя кривизны.

1. Если кривая  задана в евклидовом пространстве векторным уравнением  в натуральной параметризации, то вторая производная  задает вектор кривизны, а  — кривизна кривой в рассматриваемой точке. Вектор  — единичный вектор главной нормали. Найдем сейчас вектор кривизны

                                                         (1)

в случае, когда кривая  расположена на поверхности.

Определение. Называем нормальной кривизной кривой , принадлежащей поверхности  в точке  проекцию вектора кривизны кривой  на  нормаль поверхности в точке , через которую проходит кривая. При этом нормаль считается ориентированной  при помощи заранее выбранного единичного вектора нормали .

         Нормальную кривизну обозначаем через , а обратную ей величину через  и называем радиусом нормальной кривизны. Отметим, что  в отличии от  может быть как положительным, так и отрицательным числом.

         Из скалярного произведения  можем найти , где .

         Итак,

                                                       (2)

         Выведем формулу вычисления  кривой , заданной на параметризованной поверхности. Пусть на регулярной поверхности  класса , заданной уравнением  зафиксирована точка , через которую проходит регулярная кривая , ур-ия   или . Так как кривая  принадлежит , то ее внутреннее уравнение будет:

                                               (3)

Найдем вторую производную :

.

Так как поверхность регулярная, и , то предыдущее равенство принимает вид:

        (4)

         Вспомним, что вектор нормали к поверхности  , а потому . Умножим обе части равенства (4)
скалярно на . Получаем:

.

т.к.  и , то .

            Далее . В итоге получаем:

, или:

                           (5)

         Введем обозначения: . Тогда при , (5) примет вид:

                                        (5’)

Величины  в точке  поверхности  определяются однозначно, а правая часть равенства (5’)  зависит лишь от направления  кривой  в точке .

         Таким образом,  для всех кривых , проходящих через  и имеющих одно направление.

         Если пересечь поверхность  плоскостью, проходящей через нормаль  в точке , то в довольно малой окрестности пересечения этой плоскости с поверхностью будет регулярная кривая, называемая нормальным сечением поверхности  в точке . Это сечение имеет то же самое направление .

         Рассмотрим пример.

         1.
Найти нормальную кривизну большого круга на сфере .

         Решение.

         Для большого круга на сфере  имеет уравнение .

         .

         . , ,

.

         .

         .

         .

         .

         .

         .

         .

         ,

.

.

.

2. Найти нормальную кривизну кривой  на поверхности .

Решение.

Для кривой

         ,      .

.

.

         .

         .

         .

         ;

         ;

         .

         .

         .

2. Вторая квадратичная форма поверхности.

Выражение

,                                      (1)

стоящее в числителе правой части равенства (5’) называется второй квадратичной формой поверхности. Мы уже нашли выражение коэффициентов  и  в векторной форме, найдем сейчас их выражение через координаты. Поскольку б а , то :

;

;

.

         В частности, если поверхность  задана уравнением  или , то .

.

.

         Пример.

         Найти вторую квадратичную форму поверхности .

         Решение.

         , , .

         ,

         .

         .

         .

         .

         Самостоятельно: Ат. 1120, 1122, 1124.

3. Индикатриса Дюпена.

Пусть поверхность  задана векторным уравнением в криволинейных координатах . И пусть  — произвольная точка на поверхности . Отложим из точки  в каждом направлении  отрезки длины , где   — нормальная кривизна поверхности в данном направлении. Геометрическое место концов этих отрезков называется индикатрисой Дюпена поверхности в точке  или индикатрисой кривизны. Выясним, что представляет собой индикатриса кривизны. Для этого введем в касательной плоскости к поверхности в точке  декартовы координаты, принимая точку касания  за начало координат, прямые, содержащие векторы  и  за оси, а сами векторы  и  за базисные векторы. Пусть  — координаты произвольной точки. К лежащей на индикатрисе Дюпена поверхности , а  — ее радиус-вектор. Из

.                                              (1)

рис. 11

С другой стороны , где  — единичный вектор касательной в направлении , т.е.

.                                                  (2)

В результате получаем, что

                                               (3)

Сравнивая (1) и (3), получаем:

.                                 (4)

         Замечаем, что при ,  и . Таким образом, в точке , в результате чего получаем:

 —                                (5)

уравнение индикатрисы Дюпена.

         Знак «+» в правой части говорит о том, что нормальное сечение, проведенное через вектор нормали  к поверхности вогнуто («есть вода»), а  «-» — выпукло. Уравнение (5) – есть уравнение второй степени, а отсутствие членов в  и  говорит, что кривая, заданная этим уравнением имеет центр в начале координат, совпадающем с точкой .

         Таким образом, индикатриса Дюпена представляет собой кривую второго порядка, центр которой совпадает с рассмотренной на поверхности точкой . Если в уравнении индикатрисы дискриминант , то точку  называют эллиптической, а сама индикатриса есть эллипс, если ,  — гиперболическая, а индикатриса представляет собой пару сопряженных гипербол, если ,  — параболическая, а индикатриса представляет собой пару сопряженных прямых.

4. Формула Эйлера.

Уравнение индикатрисы Дюпена

                                          (1)

может быть упрощено обычными методами аналитической геометрии, то есть за счет удачного выбора системы координат. Так как в нашем случае система декартовых координат в касательной плоскости связана с системой криволинейных координат на поверхности, то выберем последнюю так, чтобы сделать возможным указанное упрощение. С этой целью поместим начало прямоугольной декартовой системы координат пространства в точке  поверхности, плоскость  совместим с касательной плоскостью, оставляя пока выбор осей  и . Введенную систему координат назовем нормальной в точке . Предположив, что поверхность выражена уравнением  , параметризуем ее положив , , . Векторное уравнение поверхности запишется в виде: .

         Координатные векторы соответствующей параметризации будут иметь вид: . В точке , совпадающей с началом координат, векторы  и  должны лежать в плоскости , для которой , поэтому , и остается , .

         Таким образом, введенная  в предыдущем параграфе декартовая система координат обращается в обычную прямоугольную декартовую систему координат.

         Выберем теперь направление осей  и  так, чтобы они совпадали с главными направлениями индикатрисы Дюпена.

         Из аналитической геометрии известно, что если координатные оси идут по главным направлениям кривой второго порядка, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий произведение координат. Для нашего случая  и уравнение индикатрисы Дюпена примет вид:

.                                           (2)

рис.12

Найдем сейчас зависимость между нормальной кривизной любого направления и нормальными кривизнами главных направлений индикатрисы Дюпена. Для этого обозначим угол между главными направлениями и направлением произвольного сеченья через . Тогда для точки  индикатрисы имеем , где  — радиус кривизны соответствующей точки  нормального сечения.

         Подставив  и , найденные выше в уравнение (2) получаем  , или .

         Главными кривизнами  и  поверхности в данной точке  называются нормальные кривизны, соответствующие главным направлениям индикатрисы Дюпена. Так как в нашем случае эти направления определяются значениями  и  угла , то . В результате получаем:

                                        (3)

         Это и есть формула Эйлера, которая дает выражение нормальной кривизны произвольного направления  через главные кривизны и угол между одним из главных направлений индикатрисы Дюпена и данным направлением.

5. Характеристическое уравнение поверхности. Полная и средняя кривизны.

Если координатные векторы  и   нормальной системы идут по главным направлениям индикатрисы, то есть , то основные квадратичные формы поверхности в этой точке имеют следующие виды:

,                       (1)

так как .

,                 (2)

так как , где  и  — главные кривизны поверхности.

         Умножаем обе части первого тождества на  и вычтем его из второго. Получаем:

(3)

         Между координатами  и  существует биективное соответствие, поэтому можем считать переменные  как функции от  и тогда  находится по правилу:

.                                   (4)

         Подставив (4) в (3), получаем:

, или

, откуда имеем:

.                                           (5)

Умножим первое равенство на третье, и из результата вычтем почленно квадрат второго равенства. Получим:

, т.е.

                                (6)

Раскрываем скобки и собираем члены при  и свободный член. Получаем:

.            (7)

         Таким образом, главные кривизны поверхности  в каждой ее точке являются корнями квадратного уравнения (7). Это уравнение называется характеристическим уравнением поверхности.

         Так как  , то, разделив (7)
на дискриминант первой квадратичной формы, получаем:

.                       (7’)

Обозначим коэффициент при  через , а свободный член через . Тогда уравнение (7’) примет вид:

                                          (8)

         Величины  и  называются соответственно средней и полной кривизнами поверхности. Полную кривизну  называют также Гауссовой кривизной.

         Из (8) по теореме Виета имеем: .

         Таким образом, полная кривизна поверхности равна произведению ее главных кривизн, а средняя кривизна равна полусумме главных кривизн.

         Найдем дискриминант уравнения (8):

.

Так как , то квадратное уравнение (8)имеет два действительных корня. Из  замечаем, что Гауссова кривизна имеет то же знак, что и дискриминант , а потому можем классифицировать точки поверхности исходя из знака полной кривизны. Если  — точка эллиптическая, если  — гиперболическая, при  — параболическая.

         Рассмотрим пример. 1742 (Баз).

         Найти  поверхности .

         Решение.

         , , ,

.

         ,

.

         .

         .

         ,

.

         .

         Характеристическое уравнение:

.

         .

         .

         .

         .

         Пример 2.

         Найти  поверхности, заданной уравнением: .

         Решение.

         .

         .

        

.

        

.

         .

         ,

.

         .

         .

         .

         Пример 3.

         Найти  для .

         Решение.

                  ,

,

..

.

        

.

         .