Ответ 351.IV.
 Пусть х — наименьшее из искомых чисел; назовем его первым числом; тогда вторым числом первой группы слагаемых будет х+1, третьим
м числом будет

Первым числом второй группы будет х+n+1, вторым х+n+2, третьим х+n+3, …. , n-м числом будет х+n+n=х+2n. Исходя из условия, составляем уравнение

Для облегчения дальнейших преобразований этого уравнения оставим х² в левой части уравнения, а все остальные n слагаемых перенесем в правую часть равенства и сгруппируем в n разностей квадратов:

Каждую квадратную скобку преобразуем по формуле а²—b² = (а – b) (а + b):

или

В последней круглой скобке — сумма n членов арифметической прогрессии:

Решая квадратное уравнение

получим:
 Возьмем пока только
. Положим n=1. Это значит — ограничимся в правой части равенства (*) одним, а в левой — двумя слагаемыми. При
 и мы имеем: 3²+4²=5². При n=2 в правой части равенства (*) будет 2 слагаемых, а в левой — три. При n=2 x₁=10, и мы имеем:

При n=3 в правой части равенства (*) будет 3 слагаемых, а в левой— четыре. При
 и мы имеем:

Процесс образования равных сумм квадратов последовательных чисел вы можете теперь продолжать как угодно далеко. Второе значение корня х₂=—n, будучи подставлено в уравнение (*), приводит к тождеству при любом n:

Ответ 351.VI.
 В квадрате
 , состоящем из  
 равных клеток, содержится
прямоугольников.

Ответ 351.VIII.
 Известно, что
 (см. стр. 349). Если n четное, n=2k, то левая часть формулы принимает следующий вид:

Сгруппируем слагаемые этой суммы через одно. Тогда

откуда

или

Получилась формула для суммы кубов нечетных чисел. Она нужна для дальнейшего преобразования выражения

Обратимся к нему:

Преобразуем каждую скобку как сумму членов арифметической прогрессии. Тогда

Ответ 351.X.
 По условию, строка под номером n состоит из n последовательных нечетных чисел, наименьшее из которых обозначено через а_n. Последний, наибольший член той же строки обозначим через b_n. Очевидно, что зная а_n легко вычислить b_n, прибавляя к а_n
число 2, повторенное n— 1 раз:

Отсюда для
  строки имеем:

Из указанного в условии способа образования строк следует также, что

Заменив в этом выражении b_n-1, получим

В этой формуле будем полагать n=2, 3,…, n—1. Тогда:

Складываем эти равенства. После приведения подобных членов получим:

Отсюда

Такова зависимость первого члена любой строки треугольника Никомаха от номера этой строки.

Зная, что слагаемых в каждой строке n, а разность между ними d=2, вы теперь можете самостоятельно подсчитать сумму чисел в строке и подтвердить, что она действительно равна n³.