В коробочке, рассчитанной на 16 квадратных плиток, находится только 15 пронумерованных плиток; одно место пустое. Обычно игра в «/5» заключается в том, что, предварительно расположив в коробке все 15 плиток в произвольном порядке, пытаются затем разместить их в правильном порядке (см. рисунок), передвигая плитки одну за другой, но не вынимая их из коробочки.
 |
В таком виде эта игра малосодержательна. Но ее математическое содержание можно значительно обогатить введением дополнительного требования: передвигая плитки, расположить их так, чтобы образовался магический квадрат из шестнадцати чисел (пустую клетку, в каком бы месте коробочки она ни находилась, считать нулем). Если у вас нет этой игры, изготовьте ее сами. Расположите теперь плитки игры в «15» так, как изображено на втором рисунке (нормальный порядок расположения плиток нарушают последние две плитки).
Не вынимая плиток из коробочки, а только перемещай их, образуйте магический квадрат с константой 30.
 |
Добейтесь решения не больше чем в 50 движений! Придется, несомненно, проявить терпение и большую настойчивость.
Можно образовать магический квадрат и из позиции первого рисунка, но это всегда будет квадрат! который не может получиться из позиции второго рисунка. Убедитесь!
335. НЕТРАДИЦИОННЫЙ МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
При составлении магического квадрата n-го порядка клетки квадрата заполняют обычно (по традиции)! целыми числами от 1 до n2, употребляя каждое число только один раз. В более общем случае клетки квадрата могут быть заполнены любыми числами.
Задача 1. Пусть в шестнадцати клетках квадрата размещены, как показано на рисунке, все целые числа от 1 до 8, каждое по два раза. Переставьте эти числа так, чтобы сумма их в любом из горизонтальных, вертикальных и диагональных рядов, а также по углам квадрата равнялась 18. Мало этого. Ту же сумму 18 должны составлять:
1) числа любого квадрата из четырех смежных клеток;
2) числа, расположенные по углам любого квадрата из девяти смежных клеток, и ни одно число в каждой из этих сумм не должно повторяться.
Добейтесь решения задачи путем проб. Постарайтесь придумать схему решения этой задачи.
——
Задача 2. Из шестнадцати нечетных чисел от 1 до 31 составьте такой магический квадрат, который обладал бы и некоторыми дополнительными свойствами, например:
1) должна быть равна числу 64 (константе составляемого квадрата) сумма чисел, расположенных а) по четырем углам всего шестнадцатиклеточного квадрата, б) по четырем углам четырех девятиклеточных квадратов, в) по четырем углам девяти четырех клеточных квадратов, входящих в состав всего квадрата, г) по четырем углам шести прямоугольников длиной в 4 клетки и шириной в 2 клетки, д) вдоль каждой пары противоположных сторон вписанного квадрата с вершинами в серединах сторон данного квадрата;
2) суммы квадратов чисел в каких-либо двух строках должны быть равными между собой, и суммы квад-дратов чисел в других двух строках тоже должны быть равными между собой; 3) суммы квадратов чисел в каких-либо двух столбцах должны быть одинаковыми и суммы квадратов чисел двух других столбцах тоже должны быть одинаковыми. Обменивая местами строки и столбцы в первоначально составленном магическом квадрате, постройте квадрат, обладающий всеми требуемыми свойствами. Сделайте!
Какой-то шутник составил довольно забавный нетрадиционный магический квадрат с константой S = 264 (см. рисунок). Это —- квадрат-«оборотень». как вы думаете, почему?
336. КАКОВ ЧИСЛО В ЦЕНТРАЛЬНОЙ КЛЕТКЕ?
Составьте магический квадрат третьего порядка из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сделано? [Теперь, поворачивая свой квадрат на 90, на 180 и на 270°, образуйте еще 3 магических квадрата. Затем и каждом из этих четырех квадратов поменяйте местами верхнюю и нижнюю строчки. Всего у вас получится 8 магических квадратов.
Так вот, уверенно могу предсказать, что один из ваших квадратов непременно будет таким, как изображенный на рисунке.
|
4 |
9 |
2 |
|
3 |
5 |
7 |
|
8 |
1 |
6 |
Как видим, в центральной клетке этого квадрата находится число 5, которое составляет 1/5 константы магического квадрата третьего порядка. Докажите, что другого числа и не могло бы быть в центральной клетке магического квадрата третьего порядка.
Для алгебраического доказательства воспользуйтесь общим видом квадрата третьего порядка (см. рисунок)
и рассмотрите 8 уравнений, вытекающих из основных магических свойств квадрата:
где S — константа магического квадрата.
Докажите, что при этих условиях непременно
даже если магический квадрат нетрадиционный.
337. ШКАТУЛКА АРИФМЕТИЧЕСКИХ КУРЬЕЗОВ
Прекурьезнейшие соотношения иной раз обнаруживаются среди целых чисел!
Возьмем, например, 12 обыкновенных целых чисел: 1, 2, 3, 6, 7, 11, 13, 17, 18, 21, 22, 23.
С виду они ничем не примечательны. Но вот я их разъединяю на 2 группы:
1, 6, 7, 17, 18, 23 и 2, 3, 11, 13, 21, 22.
Сравните теперь суммы чисел каждой группы:
1+6 + 7 + 17 +18+23 = 72,
2+3 + 11 +13 + 21+22=72.
Суммы оказались равными. А суммы квадратов тех! же чисел?
Суммы квадратов тоже одинаковы. А суммы кубов? Мотами убедиться в том, что и суммы кубов, и суммы степеней, и суммы пятых степеней этих чисел одинаковыми:
\
Еще поразительнее: увеличивайте или уменьшайте не числа первой и второй групп на какое хотите одно и то же целое число — получающиеся новые группы будут обладать теми же свойствами.
Уменьшим, например, все данные числа на 12; полупим: –11, –6, –5, 5, 6, 11 и —10, —9, — 1, 1, 9, 10.
Очевидно, что сумма чисел первой группы равна сумме чисел второй группы (обе суммы — нули). Равны и суммы кубов и суммы пятых степеней этих чисел (тоже — нули). Нетрудно убедиться и в равенстве сумм квадратов и сумм четвертых степеней данных чисел:
Ну, а теперь небольшая догадка, и в ваших руках будет формула, которая даст вам столько групп чисел, обладающих вышеуказанным свойством, сколько вы захотите:
где m — любое число, а n = 1, 2, 3, 4 или 5.
Интересны также и те числа, которые вычитаются из числа т или прибавляются к нему. Каждое из этих чисел, взятое со знаком плюс либо со знаком минус, входит в состав первой и третьей строк так называемого нулевого
неполного магического квадрата (см. рисунок). Нулевым он назван потому, что сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна нулю.
Элементы (числа) нулевого магического квадрата образуют еще несколько курьезных соотношений:
2) равны между собой суммы произведений чисел по строкам, по строкам, по столбцам, а также по всем диагоналям, которые могут образоваться при любом перемещении строк и столбцов квадрата:
3) если элементы (числа) любого столбца или строки обозначить буквами a b и c, то, кроме основного тождества
будут справедливы следующие:
Убедитесь в этом.
Как видите, этот нулевой магический квадрат — целая шкатулка курьезных арифметических соотношений.
338. ПРАВИЛЬНЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ1
ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Каждый традиционный магический квадрат четверти порядка может быть разложен на сумму четырех квадратов таких, что в первом квадрате будут только единицы, во втором — только двойки, в третьем — четверки в четвертом — восьмерки. В самом деле, элементами традиционного магического квадрата четвертого порядка являются все целые числа от 1 до 16, а если каждое из них уменьшить на 1, то получим магический квадрат, элементами которого будут все целые числа от 0 до 15.
Употребляя только четыре числа 1, 2, 4 и 8, причем каждое не больше чем по одному разу, можно при помощи сложения составить любое целое число от 1 до 15:
Пользуясь такой возможностью, разложим все числа магического квадрата на составные части и впишем в клетки первого из четырех заранее приготовленных таких же квадратов только единицы на те места, где в заданном квадрате находятся нечетные числа; в клетка — второго квадрата впишем только двойки на те места, где в заданном квадрате находятся числа, в разложении которых есть слагаемая двойка; аналогично поступим со слагаемыми 4 а 8. Это и будет разложением заданного магического квадрата четвертого порядка на сумму четырех квадратов.
Так, например, квадрат, представленный на рисунке на стр. 292 (сверху), разлагается на сумму четырех квадратов, изображенных на том же рисунке. Магический квадрат, представленный на рисунке на стр. 293 (сверху), разлагается на сумму четырех квадратов (см. тот же рисунок).
Магический квадрат четвертого порядка будем называть правильным, если каждый из его четырех составляющих квадратов является также магическим квадратом. Так, магический квадрат, приведенный в первом примере,— правильный, а во втором примере — неправильный (суммы чисел вдоль диагоналей двух составляющих квадратов не равны суммам чисел вдоль строк и столбцов).
Простейших магических квадратов, в клетках которых стоят только два различных числа, может быть восемь (см. рисунок к задаче на стр. 294).
Складывая эти восемь простейших квадратов по четыре, мы можем получить всевозможные правильные магические квадраты четвертого порядка. Среди них будет только одиннадцать таких, все элементы которых различны между собой.
Если обозначим условно восемь данных простейших квадратов соответственно буквами A, B, C, D, E, F, G и H, то одиннадцать правильных магических квадратов получатся в следующих комбинациях:
В каждом из найденных одиннадцати квадратов вместо пар букв и т. д. нужно подставить и каком-нибудь порядке четыре пары цифр: 0 и 1, 0 и 2, 0 и 4, 0 и 8.
Для примера возьмем квадрат и положим в нем:
|
|
Получится магический квадрат, который представлен на рисунке справа.
Так как четыре пары цифр можно перемешать 24 способами, а цифры каждой пары – двумя способами, то число всех правильных магических квадратов равно 11x16x24=4224. Если же восемь квадратов, полученных поворачиванием и переворачиванием одного квадрата, будем считать за одно решение, то число различных возможных правильных магических квадратов будет равно 4224 : 8 – 528.
339. *ДЬЯВОЛЬСКИЕ* И ДРУГИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
«Дьявольские» квадраты. Магический квадрат называют «дьявольским», или панмагическим, если сохраняется равенство сумм не только вдоль строк, столбцов и диагоналей, но и вдоль так называемых разломанных диагоналей. Разломанные диагонали квадрата 4-го порядка показаны на рисунке:
Это пары параллельных отрезков
Звенья разломанной диагонали расположены по разные стороны от диагонали квадрата и пересекают в сумме n клеток, где n — порядок магического квадрата. У квадрата 4-го порядка 6 разломанных диагоналей, у квадрата 5-го порядка 8 разломанных диагоналей (см. рисунок слева) и т. д. 1
Существуют ли панмагические квадраты? Ведь количество требований значительно увеличилось, значит, возросли и трудности составления такого квадрата.
Так как магических квад ратов 3-го порядка всего навсего 8, то легко непосредственно убедиться в том, что панмагических среди них нет. Также окончательно теперь установлена математиками невозможность построения панмагических квадратов и для
то есть., в частности, для квадратов 6-го и 10-го порядков.
Для всех прочих n панмагические квадраты существуют. Найдена формула, сразу указывающая клетку квадрата нечетного порядка я (не кратного числу 3), в которую следует поместить заданное число.
Будем определять адрес каждой клетки квадрата двумя числами
Первое число х – это номер столбца, второе число y — номер строки. При этом столбцы и строки будем считать от
Число 1 можно поместить в любой желаемой клетке Тогда адрес
любого числа z из последовательности
определится формулами
Знак «=» вместе с выражением «по модулю n» означает, что х и у равны не тем числам, которые получатся в правых частях равенств, а остаткам от их деления на n, где n — заданный порядок конструируемого пан-магического квадрата. Скобки [ ] означают, что от числа, стоящего в скобках (получившегося после деления z—1 на n), берут только целую его часть, а дробную отбрасывают. Что касается чисел
то их можно произвольно назначить заранее, но так, чтобы n не имело общих делителей, отличных от 1, ни с одним из следующих девяти чисел:
Необходимость и достаточность этих ограничений доказал в 1929 г. американский математик Д. Лемер.
Составим по формулам Лемера панмагический квадрат 5-го порядка.
Пусть
Это значит, что число 1 мы решили поместить в верхнюю угловую клетку слева. Пусть, далее,
тогда
Условия Лемера выполнены; в самом деле, ни 4, ни 2, ни —2, ни 6 не имеют общих делителей с числом n = 5.
Формулы Лемера в рассматриваемом случае принимают такой вид:
Найдем клетки, в которые следует поместить числа 2, 3, …, 25. При z=2, 3, 4, 5 квадратные скобки дают число 0 (напоминаю, что берут только целую часть числа, стоящего в квадратных скобках); при 2=6, 7, 8, 9, 10 квадратные скобки дают число 1 и т. д. Тогда если z=2, то х=4, у=2, следовательно, место числа 2 в клетке (4, 2). Если z=3, то
или х=3, у=4, следовательно, место числа 3 в клетке (3, 4). Если z=4, то
или х=2, y=1, следовательно, место числа 4 в клетке (2, 1).При z=5
следовательно, место числа 5 в клетке (1, 3). При z=6
и место числа 6 в клетке (3, 1), и т. д. для всех остальных чисел.
 |
Расставив числа по местам, получим панмагический квадрат 5-го порядка (см. рисунок слева). Проверьте: константа S=65 этого панмагического квадрата должна выполняться в 20 случаях (5 строк, 5 столбцов, 2 диагонали и 8 разломанных диагоналей)!
А теперь вернитесь к задаче 328 (стр. 270). Не сообразите ли, как получившийся панмагический квадрат превращается в «большой планетарий», о котором говорится в конце задачи 328? Вот вам и «производственный секрет» составления и решения задач о «планетариях».
Д. Лемер показал также, что если количество требований, ограничивающих подбор чисел α, β, γ и δ, мы снизим только до пяти — n не должно иметь общих делителей с числами
—то по тем же формулам можно получить магический (но не панмагический) квадрат любого нечетного порядка n.
Попрактикуйтесь в применении формул Лемера к составлению магических и панмагических квадратов разных порядков.
Другие магические квадраты. Если вам удастся составить такой магический квадрат (может быть, и не традиционный), что при замене всех размещенных чисел их квадратами (кубами и т. д.) новый квадрат также будет магическим, то это значит, что вы составили бимамагический (тримагический и т. д.) квадрат.
Если вы сможете обойти все клетки квадрата непрерывным движением шахматного коня и, расставив числа последовательно по ходу коня, получите магический квадрат, то это значит, вы составили конемагический квадрат. Но не пытайтесь составить конемагический квадрат порядка меньшего восьми и не кратного четырем.
340. ПОДБОР ЧИСЕЛ ДЛЯ МАГИЧЕСКОГО КВАДРАТА ЛЮБОГО ПОРЯДКА
Дан квадрат, состоящий из n2 клеток n —любое целое число). Требуется заполнить все клетки целыми числами так, чтобы их сумма в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали равнялась одному и тому же произвольно нами выбранному числу S (константа квадрата). Другими словами, предлагается составить магический квадрат, но не обязательно традиционный, то есть не обязательно только из порядковых чисел. Следовательно, теперь, заполняя клетки квадрата, мы позволим себе употреблять любые целые числа, даже отрицательные, и не обязательно каждое только по одному разу (разумеется, все n2
чисел не должны быть одинаковыми).
Может показаться, что при такой свободе в отношении выбора чисел задача становится весьма несложной. Попробуйте, и вы убедитесь, что это далеко не так. Настоятельно рекомендую все же непременно попробовать составить хотя бы квадрат пятого порядка из произвольных чисел, с какой хотите произвольной константой и только после этого продолжать чтение этой главы.
Прежде чем перейти к общему случаю, остановимся отдельно на квадратах третьего и четвертого порядков. Привлечем на помощь алгебру.
|
|
Квадрат третьего порядка. Все искомые числа обозначим буквой а с двумя числами (индексами) около нее справа, внизу (см. рисунок слева). Первое число индекса будет указывать номер строки, в которой находится а, а второе число индекса — номер столбца, в котором находится это а.
Так как, по условию, квадрат магический, то имеем 8 уравнений: 6 для сумм чисел в каждой из трех строк иен каждом из трех столбцов и 2 для сумм чисел в каждой из двух диагоналей. Нетрудно, однако, обнаружить, что независимых уравнений будет только б (два остальных уравнения — следствия первых шести). В самом деле, учитывая, что
— где S—константа квадрата, (см. 287, 288), получаем следующую систему уравнений:
Складывая уравнения (6), (7), (8) и вычитая (2), получаем уравнение (1). Это показывает, что уравнение (1) не является независимым от остальных или, как говорят, представляет собой следствие остальных уравнений. Исключим его из нашей системы. Складывая уравнения (5), (7), (8) и вычитая (3); получаем уравнение (4). Отсюда следует, что уравнение (4) есть следствие оставшихся уравнений. Исключим и его из нашей, системы. Остается 6 уравнений с восемью неизвестными. Надо показать теперь, что эти 6 уравнений: (2), (3), (5), (6), (7) и (8) не зависят друг от друга. С этой целью следует выделить какие-либо б неизвестных из восьми и выразить каждое из них через остальные два неизвестных числа и известное S. Если это удастся, то система независима. Убедитесь самостоятельно в том, что система уравнений (2), (3), (5), (6), (7), (8) разрешима, например, относительно неизвестных
Итак, из восьми уравнений с девятью неизвестными независимых уравнений только шесть. Это дает нам право какие-либо три числа из девяти искомых выбрать произвольно.
Принимая во внимание, что
положим
Числа
положим равными k+x и k+yгде
произвольны:
тогда получим решение, представленное на рисунке на этой странице.
Заменяя в этом решении
или
будем получать такое же распределение чисел, может быть, только с заменой строк столбцами или другим порядком их чередования. Можем поэтому положить
где
положительны. Наименьшее число в полученном квадрате
наибольшее
Зная это, легко получить и знакомый нам уже традиционный квадрат, наименьшее число которого 1, а наибольшее — 9. Имеем,
кроме того,
k = S/3 = 15/3 = 5.
Отсюда,
x= 3, y = 1,
и мы получаем единственно возможное расположение чисел (с точностью до расположения строк и столбцов) для традиционного магического квадрата третьего порядка:
Квадрат четвертою порядка. Для отыскания шестнадцати чисел, из которых можно было бы составить магический квадрат четвертого порядка (см. рисунок), мы имеем 8 независимых уравнений.
Если умело выбрать 8 неизвестных и придать им произвольные значения, то остальные 8 неизвестных будут найдены решением системы уравнений.
Полезно заметить, что в любом магическом квадрате четвертого порядка сумма четырех центральных элементов равна сумме чисел каждого ряда, то есть константе квадрата S:
В справедливости этого характеристического свойства магического квадрата четвертого порядка вы можете убедиться самостоятельно.
В 1884 г. В «Журнале элементарной математики» профессором В. П. Ермаковым была опубликована формула, которую можно предложить в виде суммы двух магических квадратов.
Произвольно подбирая 8 чисел:
A, B, C, D, a, b, c, d,
и складывая оба квадрата «поклеточно» (то есть складывая числа в совпавших клетках при наложении одного квадрата на другой), мы получим искомый магический квадрат.
SHAPE \* MERGEFORMAT
|
и складывая оба квадрата шиелеточно» «*гь складывая числа в совпавших клетках при наложении одного квадрата на другой), мы получим искомый-,м№ ческий квадрат. |
По поводу того, как подобрать эти 8 чисел, чтобы в клетках полученного квадрата стояли все целые числа. от 1 до 16 (то есть, чтобы квадрат оказался традиционным), В. П. Ермаков пишет: •Мы не знаем простого решения этого вопроса и предоставляем читателям найти таковое».
Юрий Стасевич—рабочий-строитель из г. Алчевска решил эту задачу и нашел, что при
d = 0 формула В. П. Ермакова дает традиционный магический квадрат (убедитесь!).
Кроме того, Ю. Стасевич предлагает свою формулу магического квадрата 4-го порядка (представлена справа). Придавая буквам x, y, z и t произвольные значения, всякий раз будем получать магический квадрат 4-го порядка с константой
а при x = 7, y = 11, z = 6, t = 10 —традиционный’ магический квадрат.
Убедитесь в этом и исследуйте самостоятельно, может ли по формуле Ю. Стасевича. получиться традиционный магический квадрат еще и при иных значениях
Квадрат порядка
Числа, составляющие квадрат n-го порядка
можно представить так:
Здесь
неизвестных чисел, которые могут быть любыми алгебраическими количествами, лишь бы их сумма вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей была бы одинаковой, равной произвольному, заранее выбранному числу S.
‘По условию, относительно
неизвестных имеем
линейных соотношений; из них независимых соотношений самое большее 2n. Значит,
количеств а можно выбрать произвольно. Вопрос в том, какие из этих количеств а следует считать произвольными постоянными, чтобы можно было во всех случаях гарантировать отыскание остальных 2n количеств а, отвечающих всем требованиям магического квадрата.
Сохраним за теми количествами, которые мы будем полагать произвольными, обозначение их буквой а c соответствующими индексами, остальные искомые количества обозначим буквами
и разместим их по клеткам квадрата, руководствуясь сделдующей схемой:
Сумму исех чисел а, имеющихся в квадрате, обозначим через
Заменяя произвольными числами количества, обозначенные буквами а, мы сможем определить количества b в той последовательности, как они пронумерованы, при помощи следующих равенств:
|
|
Заметим, что
занимает клетку в
строке, но не включается в состав той или иной диагонали. Такое расположение было бы невозможным для n<4 или n=4. Следовательно, эти случаи не охватываются предложенной схемой, но. они уже были рассмотрены отдельно.
Все количества Ь, расположенные в последней строке, определяются независимо друг от друга, следовательно, надо пpoверить, будет ли их сумма
составлять константу нашего квадрата S, или, что то же самое, R1 . Для этого выберем соответствующие соотношения из равенств (1) и некоторые из них предварительно преобразуем:
SHAPE \* MERGEFORMAT
(n – 2) раза
Припоминая определение чисел
замечая, что числа a расположены во всех строках, кроме последней, имеем:
Следовательно,
Подставляя найденные соотношения в (2), получим:
Итак, изложенные здесь общие правила действии обеспечивают возможность составления любого (вообще говоря, не традиционного) магического квадрата,
В случае n = 5 конструкция магического квадрата будет такой, как показано на этом рисунке:
Расставьте вместо точек произвольные числа, определите в порядке их нумерации. Полученный квадрат будет непременно магическим.
341. МАГИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Разновидностью упражнений с магическим квадратом является задача о заполнении клеток разграфленного квадрата неповторяющимися натуральными числами так,
чтобы их произведения Р в каждой строке, каждом столбце и в обеих диагоналях были одинаковы; допускается
произвольный выбор натуральных чисел. Добавим еще необязательное требование: добиваться возможно меньших значений произведений Р для каждого квадрата данного порядка.
Один способ составления какого-нибудь (какой, выйдет!) квадрата с постоянным произведением основан на известном правиле умножения степеней: при умножен степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а показатели степеней складываются. Например
или
В выбранном примере суммы показателей степеней будут одинаковы:
следовательно, и произведения степеней будут одинаковыми:
Теперь ясно, что если взять любое число, например в качестве основания степени, а показателями степей сделать числа какого-либо магического квадрата с постоянной суммой, например такого, как на рисунке на предыдущей странице, то полученные числа образую магический квадрат с одинаковыми произведениями (см. рисунок б на той же странице).
Для этого квадрата произведение
Таким путем любой магический квадрат с постоянной суммой можно превратить в «магический» квадрат с постоянным произведением.
Второй способ составления квадратов с постоянными произведениями вытекает из совершенно справедливых умозаключений студента-медика Е. Слкуни (Ереван): так как действия сложения и умножения имеют ряд общих свойств и качеств, то все буквенные формулы магических квадратов с постоянными суммами должны обращаться в формулы магических квадратов с постоянными произведениями, если сложение величин заменить
их умножением, а вычитание—делением.
Так, из формулы, представленной на стр. . 30 сразу получается формула для магического квадр 3-го порядка с постоянным произведением (см. рисунок на стр. 309; здесь формула б получается из а если умножить все выпажен и я в клетках квадрата на
и положить
, а из формул Ермакова и Стасевича (стр. 303) – формулы для квадрата 4-го порядка с постоянными произведениями (рисунок на этой странице).
К задаче 341. Формула для магического квадрата 3-го порядка с постоянным произведением.
Исходя из тех же идей, студент Е. Чернов разработал такой способ составления квадратов любого порядка с постоянными произведениями:
1) взять наименьшее из чисел, имеющих
делителей, и выписать все делители этого числа;
2) взять любой магический квадрат n-го порядка с постоянной суммой и все числа в нём заменить найденными делителями по определенному правилу (которое будет ясно из примеров).
Всякому целому числу N можно придать так называемую каноническую форму
Где p1
, p2 , …, pk
– различные простые множители. Количество всех делителей такого числа, включая его самого и 1, равно произведению
Так, например,
—простые числа, имеет
делителей. Вот они:
Обратите внимание на систему последовательного образования делителей. Этой системы и следует всегда придерживаться.
К задаче 341. Построение магического квадрата 3-го порядка с постоянным произведением.
Построим магический квадрат 3-го порядка с постоянным произведением. Для этого возьмем магический квадрат 3-го порядка (рисунок а к задаче на этой странице) и последовательно заменим числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,. 8 9 девятью делителями числа
в том порядке, в котором они выписаны выше. Получаем уже знакомый квадрат 3-го порядка с постоянным произведением (рисунок б). Если взять в качестве а и Ь наименьшие простые числа, а именно 2 и 3,.то получим квадрат 3-го рядка с наименьшим возможным произведением Р=216-(рисунок в).
Аналогично число
имеет
делителей, значит, из его делителей можно составить квадрат 4-го порядка с постоянными произведениями. Это.вы сделаете самостоятельно. (Непременно сделайте, чтобы проверить, усвоили ли вы систему расположения делителей)
Число
тоже имеет
делителей, но при наименьших возможных простых значениях
оно меньше чем N=a3b3. В самом деле, N = 2333 = 216, а N1 = 2∙3∙5∙7 = 210.
Значит, делители числа N1 = abcd дадут квадрат с меньшей константой, чем делители числа N=a3b3
Выпишем делители числа N1= abcd:
Обратимся теперь к рисунку б на стр. 280. Последовательно заменим 1, 2, ,…. 16 делителями числа N1
(рисунок а на этой странице). При а=2, b = 3, с=5, d=7
|
|
К эадаче 341. Построение магического квадрата 4-го порядка с наименьшим постоянным произведением.
константа этого квадрата P = a2b2c2d2 примет значение P = 14 400
Можно попытаться ее уменьшить, уменьшая степени с и d и увеличивая степени а и b, например, так:
1) сократить на c и d подходящие элементы каждой строки (рисунок b);
2)умножить на а и Ь подходящие элементы каждое строки так, чтобы квадрат перестал содержать одинаковые элементы (рисунок с).
Получился новый квадрат в константой
= 7560 (рисунок d)„ Дальнейшее уменьшение константы Р невозможно для магического квадрата 4-го порядка.
Если метод усвоен, то вы теперь легко составите из делителей чисел
квадраты с постоянными произведениями. Будут ли их константы Р наименьшими возможными для квадратов 5-го и б-го порядков?