Объявите своим друзьям, что если даже ограничиться только шестизначными и девятизначными числами, делящимися на 37, то все равно их чрезвычайно много, и тем не менее вы знаете наизусть все такие числа.
Чтобы усилить эффект, скажите, что вы беретесь моментально приписать к любому заранее назначенному 11позначному числу еще 3 цифры или даже 6 цифр так, что образовавшееся шестизначное или девятизначное число непременно будет делиться на 37.
Положим, вам назначили число 412. Припишите к нему 143 справа или слева — безразлично. Получатся числа 143 412 или 412 143, каждое из которых делится на 37.
Здесь дело, конечно, не в феноменальной памяти. Память вы можете иметь самую обыкновенную, но надо
и, довольно простой признак делимости на 37, заключающийся в следующем.
Разбиваем данное число справа налево на грани по 3 цифры (последняя грань слева может быть неполной). Рассматривая каждую грань как самостоятельное число, сложим эти числа. Если полученная сумма делится на 37, то делится и данное число.
Например, число 153 217 делится на 37, так как 153 + 217 = 370 тоже делится на 37.
Доказательство. Пусть N — число, разбивающееся на 2 грани. Представим его в следующей форме: N = 1000а+Ь, где а — число, составляющее левую грань, Ь — трехзначное число, составляющее правую грань данного числа. Если N делится на 37, то 1000а+b = 37к
(к — целое положительное число). Докажем, что в таком случае а+Ь тоже делится на 37.
В самом деле, выразим b из первого равенства и подставим в а+Ь. Тогда
а+Ь = а + (37 к — 1000а) = 37k — 999а = 37(к — 27)
делится на 37.
Обратно, пусть а+Ь делится на 37, тогда а + Ь = 37к.
Выразим отсюда b и подставим в равенство N=1000а+Ь. Получаем:
N = 1000а+37к — а = 999а + 37к=37(27+к), то есть N делится на 37.
Для чисел, разбивающихся на большее количество граней, рассуждения аналогичные.
Секрет фокуса, следовательно, в умелом приписывании к назначенному вашими друзьями трехзначному числу одного (для числа шестизначного) или двух (для числа девятизначного) своих трехзначных чисел таких, чтобы сумма всех приписанных вами чисел и числа, назначенного друзьями, делилась на 37.
Как же этого достигнуть?
Очень просто. Приписывайте, например, такие числа, которые в сумме с назначенным составляли бы трехзначное число с одинаковыми цифрами: 111 или 222, или 333 и т. д. до 999, так как всякое трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр, непременно делится на 37.
Если назначенное число, скажем, 341, то приписывайте 103 (дополнение до 444) или 214 (дополнение до 555) и т. д. Такое дополнение в уме произвести очень легко. Это и обеспечит вам обещанную быстроту осуществления фокуса.
В случае требования написать девятизначное число, Золящееся на 37, приписывайте три цифры произвольно, но С таким расчетом, чтобы последними тремя цифрами можно было образовать число, дополняющее всю сумму до какого-либо трехзначного числа с одинаковыми цифрами.
Так, например, если вам назначено число 412, то можно приписать, скажем, сначала 101, а затем 042 как дополнение контрольной суммы до 555. Получится число 412 101 042.
При этом помните, что для разнообразия вы можете приписывать свои числа по разные стороны от назначенного.
Если назначенное число само состоит из одинаковых цифр, например 333, то приписывать к нему число, состоящее тоже из одинаковых цифр, рискованно: таким приписыванием можно легко разоблачить себя. Чтобы этого набежать, прибавьте в уме 37 или 74 к числу, которое вы хотели бы приписать, или, наоборот, уменьшите его на 37 или 74.
Можно разрешить назначить двузначное или однозначное число. В таком случае сначала припишите к нему любую третью цифру или вторую и третью, а дальше действуйте, как рассказано.
Задача. Докажите признак делимости на 37 для числа, разбивающегося на 3 грани.
