Мысль о рассечении числа на грани с последующим их сложением для определения делимости данного числа оказалась очень плодотворной и привела к единообразному признаку делимости многозначных чисел на довольно обширную группу простых чисел. Одной из групп «счастливых» делителей являются все целые множители р числа d—10n + 1, где n = 1, 2, 3,4, … (при больших значениях n теряется практический смысл признака).
Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел р надо:
1) рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр (каждому р соответствует свое n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);
2)cложить грани через одну, начиная с крайней правой;
3) сложить остальные грани;
4)из большей суммы вычесть меньшую.
Если результат делится (не делится) на р, то делится (не делится) — и данное число.
Тик, для определения делимости числа на 11 (р =11) рассекаем число на грани по одной цифре (п = 1). Поступая далее, как указано, приходим к известному признаку делимости на 11 (стр. 246). При определении делимости числа на 7, 11 или 13 (р = 7, 11, 13) отсекаем по 3 цифры (n = 3). При определении делимости числа на 73 и 137 отсекаем по 4 цифры (n = 4).
Выясним, например, делимость пятнадцатизначного числа 837 362 172 504 831 на 73 и на 137 (р = 73, 137, n = 4).
Разбиваем число на грани: 837 3621 7250 4831.
Складываем грани через одну:
Вычитаем из большей суммы меньшую: 8452-8087 = 365.
Намечаем, что 365 делится на 73, но не делится на 137; то же можно сказать и о данном числе.
Второй группой «счастливых» делителей являются псе целые множители р числа d = 10n —1, где n = 1, 3, 5, 7,… Ограничиваемся нечетными значениями n, потому что при n четном (n = 2т ) выражение 102m —1 разлагается на множители как разность квадратов, а делители вида 10m +1 мы только что рассматривали.
Число d = 10n —1 дает следующие делители:
Для определения делимости какого-либо числа на любое ВЗ этих чисел р надо:
1) рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр (каждому р соответствует свое n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);
2) все грани сложить.
Если полученный результат делится (не делится) на р, то делится (не делится) и данное число.
Заметим попутно, что число, все п разрядов которого — единицы (начиная с n = 3), также делится на соответствующее р. Так, 111 делится на 37, 11 111 делится на 41 и на 271.
