Одним из наиболее древних и наиболее совершенных видов кросссумм является так называемый магический (или волшебный) квадрат.

Придуманы магические квадраты впервые, по-видимому, китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000—5000 лет до нашей эры.

Старейший в мире магический квадрат китайцев представлен на рисунке к этой задаче. Черными кружками в этом квадрате изображены четные (женственные) числа, белыми — нечетные (мужественные) числа. В обычной записи он не так эффектен:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

И все же какой это великолепный образец кросссумм! Девять порядковых чисел размещены в девяти клетках

квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей одинаковы (основное свойство магического квадрата).

Более поздние сведения о магических квадратах, относящиеся уже к I веку, получены из Индии. Вот один и I таких древнеиндийских памятников почти 2000летней истории:

1	14	15	4
12	7	6	9
8	11	10	5
13	2	3	16

Здесь 16 порядковых чисел размещены в шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное свойство магического квадрата.

Действительно:

и

Каждое число магического квадрата участвует в двух суммах, а числа, расположенные по диагоналям, даже в трех, и все эти суммы равны между собой!

Недаром в ту далекую эпоху суеверий индийцы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям таинственные и магические свойства.

Вся эта своеобразная мозаика чисел с её постоянством сумм действительно придает магическому квадрату «волшебную» силу произведения искусства.

И магические квадраты вошли в искусство.

В «Фаусте» Гете есть сцена приготовления колдуньей омолаживающего    зелья.    Слова,   которыми    колдунья

сопровождает свои манипуляции, обычно воспринимаются читателями «Фауста» как тарабарщина, бессмыслица:

Но не мог же Гете потерять чувство художественной меры и отдать абракадабре целых 13 строк поэтического текста!

Литературные комментаторы и исследователи бесплодно тратили усилия на поиски смысла, скрытого в этом три-надцатистишии. Очевидно, у них не возникала мысль попытаться воспроизвести на бумаге рекомендации колдуньи.

Давайте это сделаем. Построим квадрат из девяти ячеек и разместим в ячейках 9 первых натуральных чисел в порядке их следования. Выполним указания колдуньи:

Из 1 делаешь 10 — в первой ячейке заменяем число 1 числом 10. Числа 2 и 3 оставляем на своих местах, так как сказано: пропускаешь 2, а также 3.

Зачеркиваешь 4— это значит заменяем нулем число 4. Заменяем 5 и 6 числами 7 и 8, а в ячейки, занятые числами 7 и 8, вписываем 5 и 6 (см. а и б):

Колдунья говорит: «Квадрат готов», но тут она хитрит. Ей надо в последней ячейке квадрата заменить девятку числом 4. Нот  теперь  формирование   «талисмана»   окончено   и последние три строки тринадцатистишия уже ничего не г к пониманию смысла «заклинаний» колдуньи.

Особенность получившегося квадрата состоит в том, что магическая  константа  (15)  получается только  при сложении чисел вдоль любой строки и любого столбца, но не вдоль диагоналей.

Квадрат с таким свойством чисел, занимающих  его ячейки, принято называть полумагическим.

Превращением начального квадрата в полумагический Гете символизировал  процесс омоложения  Фауста.

И Европу магические квадраты проникли лишь в начале XV века. А в начале XVI века один из них был увековечен   выдающимся  немецким  художником,   гравером — много математиком А. Дюрером в его лучшей гравюре «Меланхолия»  (1514 г.)

Дюрер воспроизвел на гравюре (в несколько измененном виде) тот самый магический квадрат, составленный из 16 чисел, который показан на стр. 273.

Очарование этого магического  квадрата не только в постоянстве сумм, которое является лишь его основным

свойством. Подобно тому как в истинно художественном произведении   находишь   тем   больше   новых   привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом произведении математического искусства таится немало красивых свойств, помимо основного.

Укажем еще шесть дополнительных свойств приведенного выше шестнадцати клеточного магического квадрата:

1.            Сумма чисел, расположенных по углам нашего Магического квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата.

2.            Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже одинаковы и каждая из них равна 34:

3.            В каждой его строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых 15, и еще пара тоже рядом стоящих чисел,   сумма   которых   19.

4.            Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних:

Как   видите,   получились   попарно   равные  суммы!

5.            Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы чисел. Суммы квадратов чисел двух крайних столбцов равны между собой, и суммы квадратов чисел двух средних столбцов тоже одинаковы.

6. Если в данный квадрат вписать еще один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, получим то, что показано на рисунке а выше:

а)            сумма чисел, . расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна

сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных его сторон, и каждая из этих сумм равна

опять-таки числу 34:

б)           еще интереснее то, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:

Если все столбцы магического квадрата сделать строками, сохраняя их чередование, то есть числа первого столбца в той же последовательности расположить в виде первой строки, числа второго столбца в виде второй  сроки и т. д., то квадрат останется магическим с теми же его   свойствами.

При обмене местами отдельных строк или столбцов магического квадрата некоторые из вышеперечисленных его свойств могут исчезнуть, но могут и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем местами первую и вторую строки данного квадрата, получим то, «по показано на рисунке б на предыдущей странице.

Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел вдоль диагоналей стали иными, не равными 34. Магический квадрат потерял частьь своих основных свойств, стал «неполным» магическим квадратом (полумагическим квадратом).

Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, вы будете получать все новые и новые магические и полумагические квадраты из  16 чисел.

Задача. Обменивая местами строки и столбцы магического квадрата, изображенного на стр. 273, добейтесь такого расположения   чисел, чтобы

1)            выполнялись основные свойства магического квадрата (были бы равны суммы вдоль каждой строки, столбца и диагонали);

2)            суммы квадратов чисел вдоль диагоналей были бы одинаковыми;

3)            суммы кубов чисел вдоль диагоналей тоже были бы одинаковыми.