332. КАК САМОМУ СОСТАВИТЬ МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ


Если некоторое количество порядковых чисел, например, все целые числа от 1 до 16 или от 1 до 9, или от 1 до 25, или от 1 до 100 и т.д., расположены в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали квадрата одинаковы, то такой квадрат, как было сказано, называется магическим, или волшебным.

Количеством клеток (чисел) в каждом ряду магического квадрата определяет его порядок. Магический квадрат третьего порядка имеет в каждом ряду 3 клетки, магический квадрат четвертого порядка имеет в каждом ряду 4 клетки и т. д.

Идея составления магического квадрата, возникшая около семи тысячелетий назад, постепенно увлекла как любителей математических развлечений, так и специалистов-математиков.

Начались и до сих пор продолжаются поиски теоретических обоснований этого удивительного и красивого явления в мире чисел. За сотни лет придуманы сотни остроумных способов и правил составления различных магических квадратов.

Хотите познакомиться с некоторыми наиболее интересными из них?

В таком случае будем действовать подобно радиолюбителям. Еще не зная во всех подробностях теории радиоприема, они уже умеют собирать радиоприемник из готовых деталей по готовым схемам. Наши детали — числа, а панель (доска, на которой монтируются детали) — квадрат с клетками.

Квадраты нечетного порядка. Требуется, положим, «смонтировать» хотя бы по одному магическому квадрату всевозможных нечетных порядков. Это можно сделать по единой схеме, а схем придумано много. Вот и воспользуемся одной из них для составления, например, квадрата пятого порядка, после чего вы эту схему без труда примените к квадратам третьего, седьмого и других нечетных порядков.

Строим квадрат АВСИ с 25 клетками и временно дополняем его до симметричной ступенчатой фигуры (изображенной на том же рисунке) со ступеньками в одну клетку. В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху — вниз — направо 25 целых чисел от 1 до 25. А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата АВСD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере — на пять. Так, в соответствии с этим правилом, число 6 надо поместить в клетку под числом 18, а число 24 — выше числа 12; далее, 1 — ниже 13, а 25 — выше 13; 16 — правее ,8, а 4 — левее 12 и т. д.

Получится магический квадрат, изображенный на рисунке б на следующей странице.

Нетрудно убедиться в том, что в получившемся квадрате выполняются основные свойства магического квадрата, то есть сумма чисел вдоль каждой диагонали, вдоль каждой горизонтали и вертикали одна и та же и равна 65. Это число называется константой квадрата  пятого порядка.

Но у получившегося квадрата обнаруживается и дополнительное свойство: все пары чисел, расположенные

К вадаче 332. Построение магического квадрата 5-го порядка.

Симметрично относительно центральной клетки, дают одинаковые суммы. Например,

1 +25=19 +7=18+8=23+3=6+20=2+24=4+22

и т. д.

Магические квадраты, обладающие таким свойством, называются симметрическими.

Задача. Составьте магические квадраты третьего и  седьмого порядков, применяя только что описанный прием составления магических квадратов нечетного порядка.

Квадраты порядка, кратного четырем (n=4k). Для составления какого-либо магического квадрата порядка

n=4, 8, 12, …, 4k

удобна, например, такая простая схема:

1) разместить числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке);

2)            выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со стороной n/2 (например, как это сделано ниже на рисунках а и b);

3)            в пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра

заданного квадрата; это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10 (рисунок б выше), а в натуральном расположении чисел квадрата восьмого порядка надо поменять местами 1 и 64, 10 и 55, 2и63,9и 56, 19 и 46, 28 и 37, 20 и 45, 27 и 38, 21 и 44 и т. д. (рисунок г).

Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими.

Две задачи для самостоятельного решения (без ответов):

Задача 1. В схеме составления магического квадрата порядка 4/г изменим требования пункта 3: числа, оказавшиеся в пяти выделенных квадратах, оставить на Своих местах,, а в остальных четырех прямоугольниках Обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра квадрата. В результате также получится магический квадрат. Убедитесь в этом!

Задача 2. Составьте магический квадрат 12-го порядка.

Квадраты четного порядка, не кратного четырем (n=4k+2). Для «монтирования» квадратов порядка n= 6, 10, …, 4k+2, пожалуй, наиболее предпочтителен метод «рамок», разработанный еще в 1544 г. М. Штифелем. Этот метод заключается в том, что любым способом составляется магический квадрат порядка n — 2 (кратного четырем), затем составленный квадрат вставляется В рамку, вместе с которой образуется магический квадрат порядка n. Таким способом магические квадраты 4-го и 8-го порядков могут быть достроены до магических квадратов соответственно 6-го, 10-го порядков, и т. д. Весь «монтаж», таким образом, сводится лишь к умелому заполнению числами клеток внешней рамки. Метод можно распространить на квадраты нечетного порядка: из квадрата 3-го порядка образовать квадрат 5-го порядка и т. д.

Положим, мы решили составить магический квадрат n-го порядка из чисел

1, 2, 3, …, n2 .

Начнем так:

1)            составим магический квадрат (n — 2)-го порядка из чисел 1, 2, …, (n — 2)2 и каждое число увеличим на h = 2n — 2;

2)            получившийся квадрат дополним рамкой шириной в одну клетку (см., например, верхний рисунок на следующей странице).

Теперь в клетках рамки необходимо расставить числа 1, 2, …, 2т — 2 и их дополнения до n2
+ 1 так, чтобы выполнялись магические свойства. Как этого добиться? По какому правилу следует расставлять числа в рамке? Для небольших я можно получить желаемую расстановку в результате ряда проб. В распределении чисел по клеткам

К задаче 332. Построение магического квадрата 6-го порядка по формулам Бибербаха.

рамки   надо    руководствоваться    величиной    константы (S) составляемого магического  квадрата.  Ее легко вычислить заранее: сумма   всех  чисел, заполняющих квадрат, есть

разделив  эту  сумму  на  n, получим  константу  магического квадрата n-го порядка

Но можно и не пробами, а средствами математики найти распределение чисел по клеткам внешней рамки, Причем достаточно найти распределение лишь для чисел 1, 2, … ,2n — 2. В самом деле, если одно из этих чисел занимает угловую клетку, то его дополнение до n2
+1 надо поместить по диагонали в противоположный угол (для получения магической константы вдоль диагонали). По той же причине, если одно из чисел группы 1, 2, … ,2n — 2 занимает любую другую клетку рамки, то его дополнение до n2 +1 надо поместить по диагонали в противоположный угол (для получения магической константы вдоль диагонали). По той же причине, если одно из чисел группы 1, 2, …, 2n–2 занимает любую другую клетку рамки, то его дополнение до n2 +1 надо поместить

в том же столбце (в той же строке)  на  противоположной стороне рамки.

Известный немецкий математик Л. Бибербах установил и 1954 г., что для четного n вверху и внизу рамки должны располагаться те числа из последовательности 1, 2, … ,2n — 2, которые подбираются соотношением

и остальные числа из той же последовательности — слева и справа в соответствии с требованием

Эти формулы надо понимать так: любые два числа последовательности 1, 2, … ,2n — 2 назначаем быть числами а и Ь при условии, что а<b и а+Ь не делится на 2; из оставшихся чисел указанной последовательности подбираем столько слагаемых, сколько указывает число, стоящее под чертой.

Слагаемые, оказавшиеся в скобках, надо разместить но клеткам рамки  в произвольном  порядке, но в соответствии с указаниями: «в» — вверху, «н» — внизу, «л» — слева, «п» — справа, числа а и Ь помещают соответственно в левой и правой угловых клетках вверху рамки.

Для примера составим по формулам Бибербаха рамку для магического квадрата 6-го порядка. Так как n = 6, то 2n — 2 = 10, n2
+ 1 = 37; значит, в рамке должны быть числа 1, 2, 3, …. 10, а также их дополнения до n2
+ 1= 37, то есть еще числа 36, 35, 34, …, 27. Примем, что а = 1, Ь = 2. Остается найти места для чисел 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Формулы Бибербаха принимают такой вид:

Это значит, что числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 надо разбить на 4 группы; в одну группу выделить одно число, в другую — три, в третью — два и в четвертую — остальные два. Первая формула требует, чтобы сумма чисел первой группы (1) и числа 3 была равна сумме чисел второй группы (3). Вторая формула требует, чтобы сумма чисел третьей группы (2) и числа —1 была равна сумме чисел четвертой группы (2)’. Подобрав такие группы, получим:

Так определились места для всех чисел: в верхних углах рамки 1 и 2, кроме того, вверху же число 9; внизу 3, 4 и 5 в произвольном порядке; слева 6 и 10; справа 7 и 8 (рис. а на стр.282). Остальные клетки рамки заполняются дополнениями до 37 по ранее указанному принципу (см. рис. б, стр. 282). Теперь возьмем любой готовый магический квадрат 4-го порядка, например тот, который показан на рисунке б к задаче, стр. 280, и увеличим все числа на 10 (на 2п—2). Получим новый магический квадрат (см. рис. в, стр. 282). Остается лишь вставить его в рамку и магический квадрат 6-го порядка готов (см. рис. г, стр. 282).

Пользуясь формулами Бибербаха, составьте самостоятельно магические квадраты 8-го и  10-го порядков.

Загрузка...