Задача 1. Пусть ваш друг напишет, не показывая вам, число из трех или более цифр, разделит его на 9 и назовет вам остаток от такого деления. Теперь предложите ему зачеркнуть во взятом им числе одну цифру (любую); число, образовавшееся после зачеркивания цифры, пусть он опять разделит на 9 и снова назовет вам остаток от этого деления. Тотчас же вы можете сказать, какая цифра была зачеркнута, руководствуясь следующими правилами:
а) если второй остаток меньше первого, то, вычитая из первого остатка второй, вы получите как раз зачеркну тую цифру;
б) если второй остаток больше первого, то зачеркнутую цифру вы получите, вычитая второй остаток из первого, увеличенного на 9;
в) если остатки равны, то зачеркнута либо цифра 9, либо 0. Почему так?
Примечание. В тех случаях, когда деление выполняется без остатка, остаток надо считать равным нулю.
Задача 2. Теперь предложите вашему другу придумать два числа с одинаковыми цифрами, но разным порядком их расположения и вычесть из большего меньшее. Ни написанных чисел, ни полученной разности он вам, конечно, не должен говорить, но пусть он зачеркнет одну цифру разности (только не 0) и скажет вам сумму всех оставшихся цифр разности. Чтобы определить зачеркнутую цифру, вам достаточно дополнить названное им число до ближайшего, кратного девяти. Например, 72 105 — 25 071 = 47 034.
Зачеркиваем цифру 3. Сумма оставшихся цифр: 4+ +7+4=15. Дополнение числа 15 до ближайшего числа, делящегося на 9, то есть до 18, равно 3, что и дает зачеркнутую цифру.
Почему так?
Примечание. Задачу можно всячески разнообразить, основываясь на вышеуказанных свойствах девятки. Можно, например, предложить вычесть из данного числа сумму его цифр, зачеркнуть одну цифру разности (кроме 0 и 9) и по названной сумме оставшихся цифр разности отгадать зачеркнутую цифру таким же способом.
Задача 3. Напишем произвольное число, например 7146. Одну цифру вычеркнем, например 4. Из оставшегося числа (цифр в котором на одну меньше) вычтем сумму цифр первоначально написанного числа (18). В нашем примере получим: 716—18=698. Результат оглашен.
Как, зная результат вычитания, узнать зачеркнутую цифру?
Задача 4. Напишите два или более числа с одинаковым количеством цифр. Я припишу еще столько же чисел и удалюсь, а вас попрошу зачеркнуть любую цифру, кроме нуля, и найти сумму оставшихся чисел. Если теперь вы мне скажете получившуюся сумму или хотя бы сумму цифр суммы, то я немедленно скажу вам, какая цифра зачеркнута.
Например,
————
Сумма цифр суммы 1+2+9+8=20. Зачеркнуто 7.
Какие числа я должен приписать и как определить зачеркнутую цифру?
Задача 5. В предыдущей задаче рекомендовалось приписывать столько же чисел, сколько было написано задумавшим. Но при тех же условиях можно ограничиться приписыванием только одного числа. Например,
—-
Сумма цифр суммы 1+9+1+8=19. Зачеркнуто 8.
Какое число я должен приписывать в этом случае и как определить зачеркнутую цифру?
Задача 6. Ту же идею можно выразить в другом оформлении.
Предложите написать рядом несколько столбиков однозначных чисел, а вы припишите справа или слева — по желанию партнера — еще один столбец чисел так, чтобы каждое ваше число дополняло сумму чисел в строке до кратного девяти. Теперь смело можете предложить партнеру вычеркнуть любую цифру, сложить оставшиеся числа по правилу сложения многозначных чисел, а по названной вам сумме цифр суммы, пользуясь известным уже правилом, вы легко определите зачеркнутую цифру.
Например,
——-
Сумма цифр суммы без девятки:
3+2+1+8 =14; 18—14 =4. Зачеркнуто 4.
Интересно, что все приписывание своих чисел можно свести к однозначному числу, приписанному в любом месте. Догадайтесь, как?