49.1. Если длина одного плеча равна 1, а другого А, то при взвешивании на одной чашке покупатель’получает А кг, а чгри взвешивании на другой 1/Акг. Но по известной школьной теореме о среднем А+1/А>2, причем равенство имеет место лишь при А=1. Значит, как ни странно, в выигрыше остается покупатель.
49.2. Фальшивую монету можно определить за четыре взвешивания. Алгоритм следующий. Первое взвешивание: кладем на две чаши по 27 монет. В случае равновесия фальшивая среди оставшихся 26. Если же одна чаша легче, то фальшивая среди лежащих на ней 27. Второе взвешивание: кладем на обе чаши по 9 монет из числа «подозреваемых», и т. д. Как видим, здесь деление не пополам, а на три, по возможности, равные части. Покажите самостоятельно, что быстрее найти фальшивую нельзя (гарантированно).
49.3. Занумеруем наши монеты числами от 1 до 12
Алгоритм (ветвящийся) следующий:
1-е взвешивание. Кладем на чаши наборы 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8.
Возможны два случая:
1-й случай. Весы в равновесии.
Это значит, что фальшивая среди оставшихся с 9 до 12 монет. Этот случай достаточно прост.
Сравниваем монеты 9 и 10 с 1 и 2. Если равновесие, фальшивая одна из двух – 11 и 12.
За одно взвешивание она легко находиться. Если равновесия нет, то ещё проще. Фальшивая – одна из 9 и 10, причем известно даже, легче она или тяжелее настоящей.
2-й случай (основной).
Чаша А легче. Фальшивая среди взвешиваемых.
2-е взвешивание. Кладем на чаши наборы 9, 10, 11, 4 и 1, 2, 3, 8. Возможны три случая.
1-й. Чаша А по прежнему легче. Тогда фальшивая одна из двух монет: 4 или 8 (их положение не менялось). И достаточно 1-го взвешивания для её обнаружения.
2-й. Весы уравновесились. Фальшивая одна из монет 5, 6, 7, причем она тяжелее настоящей. Остальное понятно.
3-й случай. Легче стала чаша Б. Фальшивая одна из монет 1, 2, 3, и она легче.
49.4. Обозначим массы булыжников А, Б, В, Г и Д..
Первые два взвешивания сделаем следующие: сравниваем А и Б, затем В и Г. Можно считать, что обозначения таковы, что А<В, В<Г.
Третье взвешивание — сравниваем Б и Г. Поскольку обе возможности равноправны, то будем считать, что Б<Г. Итак, после трех взвешиваний мы знаем, что А<Б<Г и В<Г.
Четвертое взвешивание. Сравниваем Д и Б. Возникает два случая:
а) Б<Д. Без учета В булыжники А, Б, Г и Д распо
лагаются в порядке возрастания или АБГД или АБДГ.
А про В мы знаем лишь, что В<Г.
Пятым взвешиванием сравниваем В и Б. Если В<Б, то шестым и седьмым взвешиванием сравниваем А с В и Г с Д. Если же В>Б, то шестым взвешиванием сравниваем В с Д, а седьмым (если потребуется) Г с Д.
б) Б>Д. Возможны случаи АДБГ и ДАБГ и В<Г.
Здесь сравниваем В и Д. Если В>Д, то шестым и седь
мым взвешиванием сравниваем В и Б, А и Д. Если же
В<Д, то сравниваем А и Д, затем В и А.