Рассмотрим следующую задачу: бригада из m рабочих обслуживает n однотипных станков (m<n). Каждый из рабочих может одновременно обслужить только один станок. Каждый станок может в любой момент выйти из строя и потребовать обслуживания. Если хотя бы один из рабочих свободен, то он сразу приступает к наладке станка. Если все рабочие заняты, то требование становится в очередь и обслуживается только после того, как будут удовлетворены все требования, поступившие ранее. Освободившийся рабочий немедленно приступает к обслуживанию очередного станка. Интенсивность потока неисправностей каждого станка равна ?, а интенсивность потока обслуживаний – ?. Данную задачу можно рассматривать как систему массового обслуживания с m каналами (m рабочих) с ограниченным источником требований, поскольку обслуживания могут потребовать не более, чем n станков.

Здесь мы имеем дело с системой массового обслуживания, где интенсивность потока требований зависит от её состояния, а сами источники требований являются не внешними, а внутренними элементами системы. Такие системы, в отличие от рассмотренных ранее, будем называть замкнутыми.

Перечислим состояния системы:

X₀ – все станки работают, рабочие свободны,

X₁ – один станок неисправен, один рабочий занят,

X₂ – два станка неисправны, два рабочих заняты,

X_m – m станков неисправны, m рабочих заняты,

X_m+1 – (m+1) станок неисправен, m из них ремонтируются, один находятся в очереди,

…………………………………………………..

X_n – n станков неисправны, m из них ремонтируются, n-m находятся в очереди.

Граф состояний показан на рисунке 2.3 (интенсивности потоков событий поставлены у стрелок)

Пользуясь, как обычно, общими формулами нахождения вероятностей состояний системы в стационарном режиме для схемы “гибели и размножения” и обозначив ?=?/? , получим :

……………………….

…………………………

Используя эти формулы, найдём следующие показатели системы:

— среднее число занятых каналов (рабочих) или среднее число обслуживаемых станков :

— абсолютная пропускная способность системы (среднее число станков, обслуживаемых бригадой в единицу времени) :

— средняя длина очереди находится по формуле (среднее число неисправных станков, ожидающих обслуживания) :

;

— среднее число требований, находящихся в обслуживаемой системе (среднее число неисправных станков в системе, как стоящих в очереди, так и находящихся под обслуживанием) :

— среднее число простаивающих каналов (рабочих) :

— коэффициенты простоя каналов и простоя требований находятся соответственно по формулам :

;

— зная среднее число неисправных станков K и производительность исправного станка за единицу времени, можно оценить среднюю потерю L производительности группы станков в единицу времени за счёт неисправности :

Пример 2.4. Пусть для обслуживания (наладки) шести однотипных автоматов выделено двое рабочих одинаковой квалификации. Время от времени эти автоматы останавливаются и требуют наладки. Предполагается, что поток остановок автоматов является пуассоновским, а время их наладки подчиняется показательному закону. Каждый автомат останавливается в среднем один раз в 2 часа (?=0,5), а среднее время наладки одного автомата одним рабочим составляет 0,4 часа (). Таким образом:

n=6 ; m=2 ; ?=0.5 ; ?=2.5 ; ?=0.2 .

Найти коэффициент простоя автоматов и коэффициент простоя рабочего.

Определяем по формулам (2.7) вероятности состояний :

?0,32

P₁=1.2*0.32=0.384 ; P₂=0.6*0.32=0.192 ;

P₃=0.24*0.32?0.077 ; P₄=0.072*0.32?0.023 ;

P₅=0.0144*0.32?0.005 ; P₆=0.00144*0.32?0.0005 .

Среднее число автоматов, простаивающих в каждый момент в очереди из-за того, что рабочие заняты наладкой других автоматов, определяется по формуле:

?1*0,077+2*0,023+3,0,005+4*0,0005=0,14 .

Иными словами, в среднем 0,14 автомата из шести будут стоять в очереди до тех пор, пока не освободится рабочий.

Среднее число рабочих, не занимающихся в каждый момент времени наладкой автоматов, определяется по формуле:

.

Тогда коэффициент простоя автоматов:

,

а коэффициент простоя рабочего:

Таким образом, каждый автомат стоит в очереди в ожидании начала его обслуживания приблизительно 0,023 части рабочего времени.

Каждый мастер свободен от наладки автоматов чуть больше половины рабочего времени.