Основная теорема теории игр – теорема Неймана, утверждает, что для игры двух лиц с нулевой суммой всегда существует решение в смешанных стратегиях. При этом может оказаться, что какие – то чистые стратегии используются в смешанной стратегии с положительной частотой, они называются активными, а другие – не используются вовсе. Их частоты равны нулю. Доказано, что всякую матричную игру с нулевой суммой можно свести к решению симметричной пары разрешимых двойственных задач. Верно и обратное: то, что симметричной паре разрешимых двойственных задач соответствует некоторая игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру заданную платежной матрицей C=(C_ij) и пусть седловой точки нет. Будем искать решение в смешанных стратегиях.

При любой частой стратегии B_j игрока В среднем выигрыш при многократном повторении игры у игрока А будет равен:

и этот выигрыш должен быть

Разделим левую и правую часть на V

, (1)

(2)

Подставим (2) в (1)

из (2) (3)

По условию подставляем сюда (3)

Так как игрок А стремится свой выигрыш максимизировать, то , а Отсюда получим целевую функцию:

Таким образом получили следующею задачу ЛП, которая называется задачей игрока А:

З.А.

Аналогично рассуждая, построим задачу игрока В, которая является двойственной к задаче игрока А.

З.В

где

Решив пару двойственных задач, мы найдем их оптимальные решения:

Оптимальные частоты смешанных стратегий игроков:

Цена игры:

Замечание

При решении игры необходимо, чтобы все C_ij>0. Если в матрице С имеются , то следует все элементы этой матрицы увеличить на такое положительное число М, чтобы в новой матрице , все элементы были положительны. Затем решаем игру с матрицей и ее оптимальные смешанные стратегии совпадают с оптимальными смешанными стратегиями игры с матрицей С, а цена игры с матрицей С меньше на число М цены игры с матрицей .