Загрузка...

Критерий Гурвица


Пусть имеется линейная система, характеристическое уравнение которой имеет вид:

anpn + an-1pn-1 +…+ a0 = 0. (5.1)

Составим из коэффициентов уравнения ai, определитель Гурвица по следующему правилу:

— расположим на главной диагонали коэффициенты ai, начиная с an-1;

— ниже главной диагонали расположим коэффициенты ai, последовательно увеличивая индекс на единицу, если будут получены несуществующие индексы, пишем ноль;

— выше главной диагонали расположим коэффициенты ai, последовательно уменьшая индекс на единицу, если будут получены несуществующие индексы, пишем ноль (5.2).

Критерий Гурвица матрица (5.2)

Формулировка критерия Гурвица:

Для устойчивости линейной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы при an>0 все главные диагональные миноры определителя Гурвица были положительны.

Если все главные диагональные миноры положительны, а один из них равен 0, то система является нейтральной.

Пример 5.1.

Рассмотрим систему, описываемую следующей структурной схемой:

clip_image006

Рис. 5.1. Структурная схема к примеру 5.1.

Здесь k0, k1, k2 – коэффициенты усиления, а T1, T2 – постоянные времени.

Найдем передаточную функцию разомкнутой системы: clip_image008.

Тогда передаточная функция замкнутой системы:

clip_image010. (5.3)

Откуда характеристическое уравнение системы:

clip_image012=0, где k = k0k1k2. (5.4)

Построим определитель Гурвица сначала в общем виде для n=3, затем подставив значения коэффициентов характеристического уравнения получим:

clip_image013 clip_image015 clip_image017 clip_image019 (5.5)

Здесь имеют место следующие значения коэффициентов характеристического уравнения: clip_image021, clip_image023, clip_image025, clip_image027.

Проверим, выполняются ли условия критерия Гурвица:

clip_image029, так как постоянные времени (в нашем случае это T1 и T2) всегда положительны, то это требование выполняется автоматически;

— найдем первый главный диагональный минор определителя Гурвица:

clip_image031, это неравенство будет выполняться всегда по той же причине, что и рассмотренное выше;

— найдем второй главный диагональный минор определителя Гурвица:

clip_image033, это неравенство не очевидное, преобразуем его: clip_image035; поскольку коэффициенты усиления (в нашем случае это k) по своей физической природе положительны, то это неравенство принимает вид:

clip_image037. (5.6)

— найдем третий главный диагональный минор – это сам определитель Гурвица:

Критерий Гурвица; поскольку k по своей физической природе больше нуля, то это неравенство сводится к виду: clip_image041, которое уже рассмотрено нами выше.

Таким образом, исследуемая система будет устойчива, если будет выполняться неравенство (6.6).

Следствие из критерия Гурвица:

Для систем порядка меньше 3 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости системы.

Рекомендуется читателю в качестве упражнения самостоятельно доказать это положение. Критерий Гурвица не рекомендуется применять при n>6 , так как возникают трудности с вычислением определителей высокого порядка.

Загрузка...