УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ЗВЕНА


Сформулируем определение устойчивости для линейного звена. Линейное звено является асимптотически устойчивым, если после окончания внешнего воздействия его состояние с течением времени возвращается к исходному. Рассмотрим в качестве кратковременного внешнего воздействия единичный импульс. Поведение системы при отработке единичного импульса, как известно, описывается весовой функцией.

Исходя из определения устойчивости, можно записать:

— если звено устойчиво, то clip_image002;

— если звено неустойчиво, то clip_image004;

— если звено нейтрально, то clip_image006.

На рис. 3.1 приведены примеры весовых функций для устойчивого, нейтрального и неустойчивого звена.

Тогда для суждения об устойчивости системы удобно использовать выражение (3.12) для весовой функции звена.

УСТОЙЧИВОСТЬ  ЛИНЕЙНОГО  ЗВЕНА

а) б) в)

Рис. 3.1. Весовая функция для неустойчивого (а), устойчивого (б) и нейтрального (в) звеньев.

Рассмотрим выражение (2.12) для w(t). Здесь сомножитель 10(t) не влияет на устойчивость звена, так как при t>0 он не меняется. Другой сомножитель, K(pi)/D(pi) для любого pi является некоторым постоянным числом, не зависящим от времени. Следовательно, в рассматриваемом выражении устойчивость звена определяется сомножителями clip_image012. Напомним, что полюса передаточной функции pi = si + jwi t, в общем случае есть комплексные числа.

Рассмотрим 3 случая:

1. Пусть все корни pi лежат в левой части комплексной плоскости (то есть, они имеют отрицательные действительные части). Тогда clip_image014, и поскольку отрицательные экспоненты по мере увеличения параметра t стремятся к нулю, то clip_image016, т.е. исследуемое звено устойчиво.

2. Пусть все корни pi лежат на мнимой оси (si=0) , тогда:

clip_image018, (3.1)

и видно, что при t®w мы получим установившиеся гармонические колебания конечной амплитуды.

Рассмотрим случай, когда хотя бы один корень pi лежит в правой полуплоскости. В этом случае: clip_image020, так как соответствующий элемент суммы из (3.1), представляет собой положительную экспоненту и при t®? уходит в бесконечность. Если в этом случае pi представляет собой комплексное число, то мы получаем на выходе незатухающие колебания, амплитуда которых неограниченно возрастает.

Подводя итог вышеизложенному, отметим, что необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости линейного звена является отрицательность всех корней уравнения D(p)=0. Можно данный вывод сформулировать иным образом:

Для обеспечения асимптотической устойчивости линейного звена необходимо и достаточно, чтобы полюса передаточной функции звена находились в левой части комплексной плоскости.

Пример 3.1.

Найдем передаточную функцию резервуара, рассмотренного в примере 1.1.

Выходная величина — изменение уровня жидкости, т.е. y=DH. Входная величина – разница между количеством вытекшей жидкости G и притекшей жидкости Q, т.е. х=GQ. Дифференциальное уравнение, описывающее наш объект, принимает вид:

clip_image022. (3.2)

Применив к обеим частям уравнения преобразование Лапласа, в предположении нулевых начальных условий, получим:

SpY(p)=X(p). (3.3)

Откуда передаточная функция:

W(p)=Y(p)/X(p)=1/(Sp). (3.4)

Так как уравнение D(p)=0 принимает в нашем случае вид Sp=0, откуда pi=0, i=1, то наше звено — нейтральное.