Сформулируем определение устойчивости для линейного звена. Линейное звено является асимптотически устойчивым, если после окончания внешнего воздействия его состояние с течением времени возвращается к исходному. Рассмотрим в качестве кратковременного внешнего воздействия единичный импульс. Поведение системы при отработке единичного импульса, как известно, описывается весовой функцией.
Исходя из определения устойчивости, можно записать:
— если звено неустойчиво, то ;
На рис. 3.1 приведены примеры весовых функций для устойчивого, нейтрального и неустойчивого звена.
Тогда для суждения об устойчивости системы удобно использовать выражение (3.12) для весовой функции звена.
а) б) в)
Рис. 3.1. Весовая функция для неустойчивого (а), устойчивого (б) и нейтрального (в) звеньев.
Рассмотрим выражение (2.12) для w(t). Здесь сомножитель 10(t) не влияет на устойчивость звена, так как при t>0 он не меняется. Другой сомножитель, K(pi)/D(pi) для любого pi является некоторым постоянным числом, не зависящим от времени. Следовательно, в рассматриваемом выражении устойчивость звена определяется сомножителями . Напомним, что полюса передаточной функции pi = si + jwi t, в общем случае есть комплексные числа.
Рассмотрим 3 случая:
1. Пусть все корни pi лежат в левой части комплексной плоскости (то есть, они имеют отрицательные действительные части). Тогда , и поскольку отрицательные экспоненты по мере увеличения параметра t стремятся к нулю, то , т.е. исследуемое звено устойчиво.
2. Пусть все корни pi лежат на мнимой оси (si=0) , тогда:
и видно, что при t®w мы получим установившиеся гармонические колебания конечной амплитуды.
Рассмотрим случай, когда хотя бы один корень pi лежит в правой полуплоскости. В этом случае: , так как соответствующий элемент суммы из (3.1), представляет собой положительную экспоненту и при t®? уходит в бесконечность. Если в этом случае pi представляет собой комплексное число, то мы получаем на выходе незатухающие колебания, амплитуда которых неограниченно возрастает.
Подводя итог вышеизложенному, отметим, что необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости линейного звена является отрицательность всех корней уравнения D(p)=0. Можно данный вывод сформулировать иным образом:
Для обеспечения асимптотической устойчивости линейного звена необходимо и достаточно, чтобы полюса передаточной функции звена находились в левой части комплексной плоскости.
Пример 3.1.
Найдем передаточную функцию резервуара, рассмотренного в примере 1.1.
Выходная величина — изменение уровня жидкости, т.е. y=DH. Входная величина – разница между количеством вытекшей жидкости G и притекшей жидкости Q, т.е. х=G—Q. Дифференциальное уравнение, описывающее наш объект, принимает вид:
Применив к обеим частям уравнения преобразование Лапласа, в предположении нулевых начальных условий, получим:
SpY(p)=X(p). (3.3)
Откуда передаточная функция:
W(p)=Y(p)/X(p)=1/(Sp). (3.4)
Так как уравнение D(p)=0 принимает в нашем случае вид Sp=0, откуда pi=0, i=1, то наше звено — нейтральное.