Пусть на плоскости или в пространстве задан упорядоченный набор точек, определяемых векторами V0,V1, … , Vm (Рис.1). Ломаная V0,V1, …,Vm называется контрольной ломаной, порожденной массивом V={V0,V1, … ,Vm} (Рис.2).

Кривая, определяемая массивом V, точки которого связаны векторным уравнением:

, где и называется кривой Безье. Параметры определяют коэффициенты в разложении бинома Ньютона (число сочетаний из m элементов по i )

Кривая Безье обладает следующими замечательными свойствами:

— она является гладкой;

— начинается в точке V0 и заканчивается в точке Vm, касаясь при этом отрезков V0V1 и Vm-1Vm контрольной ломаной;

— функциональные коэффициенты при вершинах Vi , I = 0, 1, …, m, есть универсальные многочлены (многочлены Бернштейна); они неотрицательны и их сумма равна 1:

Поэтому кривая Безье целиком лежит в выпуклой оболочке, порождаемой массивом (Рис.3).

Подставив в уравнение кривой m=3 получаем кубическую кривую Безье, определяемую четверкой точек V0, V1, V2, V3.

В зависимости от порядка обхода точек форма ривой может быть различной, что видно из Рис. (хоть и находятся в выпуклой оболочке и пытаются повторить контрольную ломанную в гладком варианте).

Наряду с имеющимися замечательными свойствами кривой Безье свойственен ряд типичных недостатков. Основных минусов три: 1) степень функциональных коэффициентов напрямую связана с количеством точек в заданном наборе (на единицу меньше);

2) при добавлении хотябы одной точки в заданный набор необходимо провести полный перерасчет функциональных коэффициентов в параметрическом уравнении кривой;

3) изменение хотя бы одной точки приводит к заметному изменению вида всей кривой.

На практике используют элементарные кубические кривые Безье, как составные элементы сложных. Задача заключается только в том, чтобы достичь гладкости в точках состыковки. Но каждый из элементов обладает собственной параметризацией. Для учета этого ввели понятие класса геометрически непрерывных кривых.

· Составная кривая G1 является (геометрически) непрерывной, если вдоль этой кривой единичный вектор ее касательной изменяется непрерывно, и G2 (геометрически) непрерывной, если вдоль этой кривой изменяется непрерывно кроме нормали и вектор кривизны.

Тогда для составной кривой, состоящей из объединения элементарных Безье, заданных параметрически: , где , действуют следующие правила:

1) составная кривая Безье, определяемая набором вершин Vi, где 0 ? I ? m, будет G1- непрерывной, если каждые три точки V3i-1, V3i, V3i+1 будут лежать на одной прямой;

2) составная кривая Безье — // — // — будет замкнутой G1 непрерывной, если кроме совпадения начальной и конечной точек (V0 = Vm), другие три точки Vm-1, Vm=V0, V1 также лежали на одной прямой;

3) составная кривая Безье — // — // — будет G2 — непрерывной, если каждые 5 точек V3i-2, V3i-1, V3i, V3i+1, V3i+2 (I?1) будут лежать в одной плоскости.