Category Archives for Системный анализ

В экономике при планировании и управлении, в военном деле часто встречаются ситуации, которые носят конфликтный характер. Такие ситуации имеют лица, интересы которых частично или полностью противоположны. И возникает задача выбора рациональной обработки действий участников конфликта для достижения поставленной цели. Эта задача отличается от ранее рассмотренных экстремальных задач, в которых имелось одно лицо, заинтересованное в достижении Читать далее

Основная теорема теории игр – теорема Неймана, утверждает, что для игры двух лиц с нулевой суммой всегда существует решение в смешанных стратегиях. При этом может оказаться, что какие – то чистые стратегии используются в смешанной стратегии с положительной частотой, они называются активными, а другие – не используются вовсе. Их частоты равны нулю. Доказано, что всякую Читать далее

Примеры многокритериальных задачи 1.При решении различных производственных, экономических, социальных и других задач часто приходиться учитывать несколько критериев эффективности. Например при проектировании прибора необходимо как правило учитывать 2 условия – чтобы прибор был надёжен и стоимость минимальна. Ясно что эти 2 критерия противоречивы. Прибор построенный с учётом максимальной надёжности будет дорогим и наоборот.

Анализ устойчивости оптимального плана производства. 1.Задача оптимального плана производства и двойственная к ней – задача нахождения оптимальных оценок ресурсов. Запишем мат. Модель задачи оптимального плана производства. З.1) (1) (2) (3) Двойственной к ней является следующая задача: З.2);,;

Для того чтобы два допустимых решения и пары двойственных задач 1)-3) или 1`)-3`) были оптимальными необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия: I) для всех II) для

Рассмотрим пару двойственных задач. Задачу об оптимальном плане выпуска продукции (1) и задачу определения оптимальных оценок ресурсов (2). З.1. (1) (1`) (2) (2`) (3) (3`)

В своей практической деятельности человек часто встречается с задачами, в которых переменные по своему физическому или экономическому смыслу могут принимать только целочисленные значения. Например, в задачах о выпуске неделимой продукции, которая не может выражаться дробными числами. В мат. моделях таких задач необходимо вводить дополнительные условия, требования цело численности переменных. Если все остальные ограничения и целевая Читать далее

1.Задачи, сводящиеся к цело численности. Такой задачей является транспортная задача. 2.Задача о ранце. Для перевозки m-видов неделимых предметов используется m-видов транспортных средств – ресурсов заданных в количестве Известны стоимость одного предмета вида j, а также расход i-го ресурса необходимого для транспортировки одного предмета вида j это

Имеется n работ и n исполнителей. Известны затраты № на выполнение i-м исполнителем j-й работы № Необходимо распределить исполнителей по работам таким образом, чтобы каждый исполнитель выполнял только одну работу, и чтобы каждая работа получила своего исполнителя. Введем переменные

Иерархической является система, элементы которой распределены по уровням так, что подсистема более высокого уровня доминирует определенным образом над подсистемами более низкого уровня. Например, система управления промышленностью построена по иерархическому принципу. По числу уровней иерархии различают одноуровневые, двухуровневые, трехуровневые и т.д. системы. Простейшая двухуровневая иерархическая система состоит из одной подсистемы более высокого уровня (центра управления) и Читать далее

При исследовании операций в ряде случаев приходится анализировать и планировать работу своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Уже само название ”системы массового обслуживания ”, в какой-то степени раскрывает их содержание, а именно, каждая такая система предназначена для обслуживания каких-то требований (заявок, запросов), которые возникают в случайные моменты времени. К таким системам относятся телефонные станции, Читать далее

В зависимости от определяющего признака, положенного в ос­нову классификации, системы массового обслуживания подразделя­ются на ряд типов. Основным признаком классификации является поведение заявки (требования.), поступившей на вход системы в момент, когда все каналы заняты. Если заявка, поступившая в систему, когда все ка­налы заняты, покидает ее необслуженной, то система массового обслуживания называется системой с отказами (потерями).

Поток требований является одним из основных и наиболее важных понятий теории массового обслуживания. Как уже было отмечено (гл. I.), потоком требований (входящим потоком) называется совокупность требований на обслуживание, поступающих в обслуживающую систему. Реальные потоки требований являются обычно случайными. Они могут иметь самый различный характер, т.е. описываться различными законами распределения вероятностей, однако большинство ре­зультатов теории массового Читать далее

Перейдем к рассмотрению еще одного весьма важного понятия массового обслуживания, которое играет большую роль при анализе и решении задач обслуживания – времени обслуживания. Время обслуживания есть прежде всего характеристика функционирования каждого отдельного канала обслуживающей системы. Заметим, что этот показатель характеризует не качество обслуживания, а лишь пропускную способность прибора, т.е. он показывает, сколько времени затрачивается на Читать далее

Процессы, происходящие в СМО, являются случайными. Последовательность конкретных состояний процесса будем называть реализацией процесса. Будем рассматривать только системы, которые имеют конечное число возможных состояний. Их будем называть системами с дискретными состояниями, а процессы, протекающие в них , — дискретными случайными процессами. Дискретный случайный процесс удобно изображать с помощью графа состояний. Будем изображать каждое состояние (вершину Читать далее

Рассмотрим некоторую систему S с дискретными состояниями Х1 , Х2, … , Хn ,которая переходит из состояния в состояние под влиянием некоторых потоков событий. Будем считать, что эти потоки простейшие. Тогда вероятность Рij перехода из состояния Хi в состояние Хj , за малый промежуток времени Dt равна lijDt , т.е. Рij = lijDt , где Читать далее

Зная размеченный граф состояний системы, легко написать систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний и рассчитать их. Но если две системы имеют одинаковые графы состояний и различаются лишь интенсивностями потоков, то нет надобности каждый раз выписывать системы этих уравнений. Рассмотрим так называемый “процесс гибели и размножения”, который лежит в основе изучения простейших систем массового обслуживания.

Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Возможные состояния системы будут: X0 – все каналы свободны; X1 – один канал занят, все остальные свободны; X2 – заняты два канала, остальные свободны;

Рассмотрим СМО, состоящую из конечного числа n однотипных обслуживающих каналов. Требование, заставшее все обслуживающие приборы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ждёт, пока его не обслужит один из освободившихся каналов. Как обычно, будем предполагать, что входящий поток требований является пуассоновским с интенсивностью ?, а продолжительность обслуживания каждым каналом подчиняется показательному закону с Читать далее

Рассмотрим следующую задачу: бригада из m рабочих обслуживает n однотипных станков (m<n). Каждый из рабочих может одновременно обслужить только один станок. Каждый станок может в любой момент выйти из строя и потребовать обслуживания. Если хотя бы один из рабочих свободен, то он сразу приступает к наладке станка. Если все рабочие заняты, то требование становится в Читать далее

Необходимо построить крытый склад, предназначенный для хранения грузов. Склад состоит из определенного числа площадок, каждая площадка обеспечивает одновременное хранение одной партии. Если на складе в момент поступления очередной партии груза нет свободных площадок, груз на хранение не принимается (заявка на хранение получает отказ). Годовой (в году 365 дней) грузооборот крытого склада Q тонн. Средний вес Читать далее

Пассажирское агентство оборудовано системой продажи билетов. В часы пик интенсивность потока пассажиров, обращающихся в кассы, составляет l пассажиров в минуту. Среднее время обслуживания одного человека. Входящий поток простейший. Сколько должно быть касс, чтобы средняя очередь к каждой не превышала пассажиров ? Оценить эффективность функционирования агентства. Параметры СМО Единица измерения Значения l Пасс/мин 3 Мин 3 Читать далее

На оптовую базу прибывают автомашины с товаром. Установлено, что каждый час на базу в среднем приезжает 6 автомашин. Во дворе базы может поместиться 10 автомашин, включая и те, что находятся под разгрузкой. Среднее время разгрузки одной машины 1 час. На базе имеется 3 бригады грузчиков, каждая из которых разгружает одну машину. Оценить эффективность функционирования базы. Читать далее

В матрице L(k,r) следует запретить переезд из города k в город r т.е. lk,r=?, а все остальные элементы lij переносятся из матрицы L’’. Получим L(k,r) => привести т.е. осуществить переход от L(k,r) => L(k,r)’ => L(k,r)’’. Сумма приведенных констант, полученных в результате приведения ? hi+? Hj=?k,r Оценка ?(D1(1))= ?(D(1))+ ? hi+? Hj=?( D(1))+?k,r

Постановка задачи. Коммивояжер (К) должен обойти N городов и вернуться в исходный город. Пронумеруем эти города 1,2….N. Известна матрица расстояний L=(lij)NN так как К из города i переходит в другой город j, то lij не существует. Если из города i нельзя переход в j то расстояние lij=?. В общем случае lij? lji. Будем предполагать что Читать далее

В различных сферах произв., научной и общественной деятельности часто приходится решать задачи рационального планирования большого комплекса работ. Они возникают при разработке проектов строительства крупных пром. комплексов и т.д. При решении этих задач всегда необходимо дать ответы на вопросы: 1) какое время необходимо 2) стоимость этих работ. И как при этом управлять ходом работ при выделенных Читать далее

I. Рассмотреть систему как централизованную и решить задачу для всей системы как единого целого, для чего 1. составить математическую модель задачи оптимизации производства для двухуровневой системы по заданному критерию

Решение многокритериальных задач Формулировка задачи: Предприятие изготавливает продукцию вида A, B, C, D и E, используя четыре вида ресурсов: сырье, оборудование, труд и энергоресурсы. План производства оценивается по 3 показателям: прибыль, чистый доход и затраты. Объем производства всех пяти видов продукции должен быть не меньше 180 единиц.

Задача 1. Необходимо построить крытый склад для хранения груза. Склад состоит из определенного числа площадок, каждая площадка обеспечивает одновременное хранение одной партии. Если на складе в момент поступления очередной партии груза, нет свободных площадок, груз на хранение не принимается (заявка на хранение, получает отказ).