Математическое моделирование
Таблицы, в которых собраны упорядоченные некоторым образом элементы наз-ся матрицами. Матрицы различаются по числу строк и столбцов, если число столбцов и строк различно, то такая матрица наз-ся прямоугольной иначе квадратной. Если матрица содержит всего один столбец, то ее называют вектор-столбец, если строку – вектор-строка.
; ; и
Определители и их св-ва Каждой квадратной мат-це можно поставить в соответствие некоторое число которое называется определителем ма-цы. Определитель представляет собой алгебраическую сумму всех возможных произведений в каждой из которых входит по одному элементу от каждой строки и от каждого столбца. Знак произведения + или – зависит от положения элементов данного произведения.
— знаковый минор или алгебраическое дополнение. Пусть: ;;. Свойства обратных матриц
Фундаментальную роль в анализе уравнения регрессии играет матрица М-1=(ХТХS2{Y})-1 – матрица дисперсии М=ХТХ S2{Y} – информационная матрица Фишера
Дублирование опытов называется равномерным, если во всех точках факторного пространства, где проводятся опыты, проведено одинаковое число экспериментов. Если это правило нарушается, дублирование называется неравномерным. Пусть имеется двухфакторный эксперимент.
Особенности МНК: · не дает многомерных моделей. · нам надо знать,что связь существует и вид связи. Метод МНКО избавлен от этих недостатков.
Представим что у нас два массива данных: 1-таблица факторов X. 2-таблица выходных показателей Y. H(X,)=H(X)+H() (1). Остаточная энтропия (мера не знания) будет выглядеть так H(X,) после того как что-то извлекли из модели. Тогда информация, которую смогли извлечь из модели: (2). H(X,)=H(X)+H(|X) (3).
Для нахождения оптимальной точки — вершины параболы – необходимо как минимум три точки. Две у нас уже есть: –1 и +1.
Будем преобразовывать модель следующим образом. т.е. Следует доказать, что при таком преобразовании ортогональность будет соблюдена.
N 1 1.414 4 4 5 13 2 1.682 8 6 6 20 4 2 16 8 7 31 Где n-число факторов, p –степень дробности при ДФЭ.
Под мат. ТПЭ будем понимать науку о способах составления экономных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте, о способах обработки экспериментальных данных, о способах проведения эксперимента, о способах использования полученных результатов для оптимизации промышленных процессов и инженерных расчётов. Мат. Аппарат ТПЭ построен на сочетании методов мат. статистики и методов решения экстремальных задач. Читать далее
Дисперсионный анализ представляет собой метод обработки экспериментальных данных, позволяющий проверить гипотезу о наличии эффекта, вносимого исследуемым фактором, путём численного сравнения двух дисперсий: 1) дисперсии, определяемой эффектом изменения уровня исследуемого фактора 2) дисперсии, характеризующей рассеивание, связанного с ошибкой эксперимента.
1. Построим таблицу: Уровни 2-го фактора Уровни 1-го фактора 1 2 … j … K 1 Y11 Y12 … Y1j … Y1k 2 Y21 Y22 … Y2j … Y2k … … … … … … … I Yi1 Yi2 … Yij … Yik … … … … … … … N Yn1 Yn2 … Ynj Читать далее
— дисперсия продукта. Разбиваем эту дисперсию на две части: — дисперсия стабильности, — дисперсия неоднородности (Дисперсии первой ступени). Разбиение проводится по чёткому признаку, который невозможно оспорить
Модель-это, упрощённая система, отражающая отдельные стороны, свойства изучаемого объекта. Модели бывают физическими и математическими. Физическая модель представляет собой уменьшенную копию реального объекта (очень полезная вещь). математическая модель является методом качественного и количественного описания объектов или процессов. При этом реальный объект, процесс или явление схематизируются, упрощаются и описываются уравнениями.
ПФЭ – называется эксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на этих двух уровнях. Число этих комбинаций определяет тип планирования.
Эксперимент, реализующий часть ПФЭ (дробную реплику), называется дробным факторным экспериментом. g X0 X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3 1 + — — + + — — + 2 + + — — — — + + 3 + — + — — + — + 4 + + + + + + + +
Ранее разбиралась модель вида =f(x1,x2,…xN); Она представлялась в виде полинома. . Все факторы ортогональны друг другу. Добавляем еще одну компоненту =f(x1,x2,…xN) +— ошибка эксперимента. Учет дискретного дрейфа. Пример: Смена сырья на заводе.
N – число строк плана, L – некий показатель степени. L > N.
Применяется если у нас много факторов, а нам необходимо найти мат модель и выбросить лишние факторы. Теория планирования экспер. нуждалась в методе отсеивания факторов, желательно чтобы при этом получалась одновременно модель.
1.В качестве основы для расчета выбирается не медиана, а среднее арифметическое.
1. Задача оптимизации. Метод Гаусса-Зайделя. 2. Последовательный симплексный метод планирования эксперимента при первом способе задания регулярного симплекса. 3. Последовательный симплексный метод планирования эксперимента при втором способе задания регулярного симплекса.
При оптимизации по методу Г-З последовательное приближение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждого параметра до достижения частного экстремума выходной величины. Другими словами изображающая точка перемещается поочередно вдоль каждой из координатных осей факторного пространства (хi(i=1,…,n)). Причем переход к новой i+1 оси совершается по достижению частного экстремума по i-ой оси. достигнув частный экстремум по последней n-ой Читать далее
Характерной особенностью метода является случайный выбор направления движения на каждом следующем этапе.
При оптимизации процесса градиентным методом рабочее движение совершается в направлении наиболее быстрого возрастания выходного параметра, т.е. в направлении градиента целевой функции. При этом, также как и в методе случайного поиска, направление движение корректируется после каждого рабочего шага, следовательно каждый раз заново вычисляется вектор по результатам специально спланированного эксперимента.
Создан Боксом-Уилсоном. Объединяет в себе принципы методов Гауса-Зейделя , градиентного метода и ПФЭ. При использовании алгоритма крутого восхождения шаговое движение из точки совершается по градиенту . Однако, в отличие от градиентного метода корректировка направления осуществляется не после каждого следующего шага, а по достижении в некоторой точке частного экстремума.
