Математическое моделирование
Пример 1. В табл. 6.5 представлена матрица планирования и результаты эксперимента операции диффузии при производстве кристаллов интегральных микросхем по двум факторам – количеству азота и температуре печи, причем кодированное значение xi = -1 соответствует наименьшему из допустимых значений, xi=0 – базовой точке (номиналу), а xi= +1 – наибольшему из допустимых значений по технической документации. В Читать далее
В ортогональном центральном композиционном планировании (ОЦКП) критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу этой ортогональности все оценки коэффициентов регрессии определяются независимо друг от друга. Критерий оптимальности плана ставит задачу построения матрицы планирования с ортогональными вектор-столбцами. Для обеспечения этого необходимо преобразовать модель (6.1) следующим образом:
Пример 2. В табл. 6.8. представлена матрица планирования и результаты эксперимента, проводившегося в трех повторностях (m=3), одной из технологических операций производства кристаллов интегральных микросхем по трем факторам. В качестве выходного параметра взят процент выхода годных изделий. Определить математическую модель технологической операции методом ОЦКП. Р е ш е н и е: Проверяем гипотезу о равенстве строчных Читать далее
Критерием оптимальности в ротатабельном плане является условие , то есть, требование симметричности информационных контуров. Для планов второго порядка его можно достичь, если все нечетные моменты, вплоть до 4-го порядка будут равны нулю, а для четных моментов будет выполняться соотношение: (6.15)
При РЦКП эксперимент проводится точно так же, как и при ортогональном планировании второго порядка. Однородность оценок строчных дисперсий Sg2 проверяется методами, изложенными выше. Таблица 6.9 Общий вид плана РЦКП для n=3
Методы математического моделирования, рассмотренные в разделе 5, удобны при лабораторных исследованиях, однако в большинстве случаев непригодны для исследований в цеховых условиях при массовом производстве, где раскачивание факторов больше поля допуска может привести к крупному браку или даже аварии, а также в тех научных исследованиях, где искусственное изменение фактора по желанию экспериментатора принципиально невозможно. В этих Читать далее
Требование активного эксперимента во всех факторных планах связано с желанием получить точки факторного пространства, расположенные в вершинах гиперкуба, вписанного в гиперсферу определенного радиуса, тем самым равномерно охватить изучаемую точку (центр исследования) и получить возможно меньшую дисперсию оценок коэффициентов регрессии. С этой точки зрения таблицу экспериментальных данных, полученных при пассивном эксперименте, можно рассматривать как таблицу координат Читать далее
Проделав работу по преобразованию координат факторов, получаем из таблицы экспериментальных данных таблицу планирования квазиактивного эксперимента, каждая строка которой представляет собой координату точки факторного пространства в виде набора относительных величин -1, 0, +1, и результат эксперимента в этой точке Y. При этом вопрос о порядке реализации строк плана отпадает, а рандомизацию можно проводить только косвенно, т.е. Читать далее
Пример 1. Используя данные табл. 1.1 найти математическую модель процента выхода годных кристаллов интегральных микросхем. Р е ш е н и е. Прежде всего необходимо построить план квазиактивного эксперимента, для чего потребуется предварительно решить две задачи: определить вид закона распределения выходной величины и выбрать величину Z для определения границ области хк=0.
Математические модели, найденные с помощью ММСБ, в большинстве практических случаев удовлетворяют задачам прогнозирования выходного показателя качества управления технологическим процессом. Однако, как всякая неполная квадратическая модель, выражение типа (5.10) перестает правильно работать в области факторного пространства, близкой к экстремуму, т.е. когда необходимо переходить к планированию второго порядка. В принципе ММСБ пригоден для планирования второго порядка, но, Читать далее
Рассмотрим применение ортогональных полиномов Чебышева для случая многомерной регрессии. Неизвестную нам связь между выходной величиной Y и факторами Хj будем искать в виде следующего полинома, включающего эффекты факторов и их взаимодействий, (7.5)
Анализ особенностей МНКО как в теоретическом плане, так и в плане практического применения позволяет обратить внимание на следующее. 1. В условиях пассивного эксперимента оценки коэффициентов bk в отличие от Аk являются смешанными. Однако по сравнению с МНКК предложенный метод позволяет точно оценить независимый вклад каждого эффекта в соответствующий коэффициент bk Это обстоятельство обуславливает более высокую Читать далее
Решение большого числа разнообразных задач управления, проектирования и планирования в той или иной мере связано с оптимизацией, то есть нахождением наилучших в определенном смысле значений различных параметров. Обычно задается некоторый критерий оптимизации (целевая функция) Y, зависящий от вектора управляемых параметров (факторов варьирования)
При оптимизации по методу Гаусса-Зайделя последовательное приближение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждым параметром до достижения частного экстремума выходной величины. Другими словами, изображающая точка перемещается поочередно вдоль каждой из координатных осей факторного пространства Xi (i=1,…,n), причем переход к новой (i+1) координате совершается по достижению частного экстремума целевой функции на предыдущем направлении, то есть в Читать далее
Последовательный симплексный метод относится к методам поиска экстремума целевой функции, где используется простая непараметрическая процедура «грубого» описания поверхности отклика, не требующая вычисления оценок коэффициентов регрессии факторов. Суть метода заключается в суждении о локальном участке поверхности по относительным значениям отклика в различных точках факторного пространства вблизи точки рабочего режима. Сравнивая значения откликов в этих точках, можно Читать далее
Симплекс называют регулярным, если расстояния между всеми точками, образующими симплекс (то есть между вершинами симплекса), одинаковы. Существуют два способа задания координат вершин начального симплекса (рис. 8.3). При первом способе одну из вершин помещают в начало координат, а остальные располагают таким образом, чтобы ребра, исходящие из первой вершины, образовывали одинаковые углы с соответствующими координатными осями.
Экспериментальное определение оптимума функции осуществляется с помощью следующей процедуры. 1. Преобразование исходных факторов с таким расчетом, чтобы изменение каждого из них на единицу приводило приблизительно к одинаковому изменению целевой величины то есть нахождение соответствующих значений шагов варьирования . 2. Расчет координат начального симплекса по одному из приведенных выше способов. 3. Проведение эксперимента в точках, соответствующих Читать далее
Пример 1. Определить, при каких величинах факторов Хi (параметров транзисторов в микросхемах серии ТТЛШ) технологический процесс дает наибольший процент выхода годных изделий Y если: Х1 есть коэффициент усиления , диапазон возможных изменений 120-300, базовая точка Хiб =200, шаг DX1=40 мВ; Х2 есть напряжение выходного диода Шоттки Uдшвых, диапазон возможных изменений 170-360 мВ, базовая точка Х2б Читать далее
Характерной особенностью метода является случайный выбор направления движения на каждом следующем шаге. Так, если изображающая точка после (k-1) рабочего шага занимает в факторном пространстве положение , то следующий k-й рабочий шаг совершается после пробного эксперимента или экспериментов в точке , (8.8)
При оптимизации процесса градиентным методом рабочее движение совершается в направлении наиболее быстрого возрастания выходного параметра, то есть в направлении градиента целевой функции . При этом, как и в методе случайного поиска, направление движение корректируется после каждого рабочего шага, то есть каждый раз заново вычисляется значения вектора по результатам специально спланированных пробных экспериментов.
Суть метода векторного поиска экстремума функции заключается в использовании возможностей правильного симплекса, построенного в n-мерном факторном пространстве. Поиск состоит из чередующихся периодов ориентации и восхождения (движения в направлении экстремума). Целью ориентации является нахождение наиболее перспективного направления движения, которое получается как равнодействующий вектор направлений из всех (n+1) вершин симплекса. Само восхождение по этому направлению происходит из Читать далее
Метод крутого восхождения (Бокса-Уилсона) объединяет существенные элементы метода Гаусса-Зайделя, градиентного метода и ПФЭ (ДФЭ). При использовании алгоритма крутого восхождения шаговое движение из точки совершается в направлении наискорейшего возрастания уровня выхода (то есть по ), однако в отличие от градиентного метода корректировка направления производится не после каждого следующего шага, а по достижении в некоторой точке на Читать далее
Этот метод является развитием метода крутого восхождения. Он обладает повышенной эффективностью для достаточно гладких поверхностей отклика типа квадратической. Кроме того, он неплохо функционирует и при наличии вытянутых гребней, где метод крутого восхождения работает весьма плохо. На рис. 8.12а представлена характерная ситуация, когда траектория поиска метода крутого восхождения носит зигзагообразный характер, чрезвычайно медленно смещаясь в сторону Читать далее
Экспериментально-статистические методы оптимизации предусматривают планомерное изменение управляемых факторов Х1, X2,…, Хn вплоть до достижения экстремума целевой функции в точке . В большинстве практических случаев, однако, встречаются ситуации, когда какие-либо комбинации факторов являются нежелательными, так как приводят к нарушениям нормального хода технологического процесса или к экономически невыгодным показателям. Диапазон варьирования факторов Х1, X2,…, Хn помимо того, Читать далее
Рассмотрим алгоритм и особенности поиска оптимальной точки в условиях ограничений с помощью метода крутого восхождения на примере функции отклика, определенной в области Dn (рис. 8.13) двухфакторного пространства. Условия ограничений видны из рисунка.
Алгоритм формирования компромиссного вектора иллюстрирован на рис. 8.14. а) б) Рис. 8.14. Различные случаи формирования вектора движения по компромиссному направлению
При создании автоматизированных систем управления технологическими процессами (особенно в условиях гибкой технологии) приходится одновременно решать несколько технических задач, среди которых одно из центральных мест занимает задача сбора и статистической обработки измерительной информации о ходе конкретного технологического процесса с целью получения его математического описания в виде модели. Математическую модель можно использовать не только для управления оптимизации Читать далее
Пример 1. Произвести декомпозицию технологического процесса производства кристаллов интегральных микросхем типа ТТЛШ для выходных параметров напряжение логического нуля U(0) и напряжение логической единицы U(1). Р е ш е н и е. Прежде всего необходимо построить структурную схему формирования этих выходных параметров (целевых функций, корневых вершин графа)
Нахождение математической модели любым из известных методов и подтверждение ее адекватности результатам эксперимента неизбежно ставит вопросы об области (коридоре) существования модели и о её информационной ценности. Действительно, как всякая регрессия уравнение модели в любой форме, в том числе и полиноминальной, представляет собой уравнение геометрического места точек математических ожиданий многомерных распределений, полученных в соответствующих сечениях факторного Читать далее
Система X является системой, объединяющей комплекс факторов (входных величин), каждый из которых принимает случайное значение в некотором диапазоне варьирования и характеризуется своим рядом распределения. Таким образом, состояние системы X определяется набором состояний (значений) каждого из параметров Zk. Здесь, по-видимому, уместно будет переобозначить исходную систему X через Z, построенную по всем эффектам, вошедшим в модель. При Читать далее
