Математическое моделирование
Суть экспертных методов заключается в том, чтобы используя опыт, знания, интуицию специалистов извлечь из субъективных суждений объективную истину. Разновидностей экспертных методов довольно много, но большинство из них могут быть сведены к двум классам: методам прямого ранжирования и методам попарного сравнения.
Метод весовых коэффициентов важности (ВКВ) обладает меньшей неопределенностью и более удобен для эксперта с психологической точки зрения. Для реализации метода весовых коэффициентов важности необходимо соблюдение определенных правил: 1. Опрос экспертов производится только письменно и только в виде специально разработанной анкеты. 2. Анкета должна состоять из пунктов (объектов), в которых сформулированы некоторые утверждения (не вопросы).
Известно, что любые выводы, сделанные любым экспертным методом, не могут быть приняты во внимание, если не доказана значимость коэффициента конкордации (согласия экспертов). Однако коэффициент конкордации нельзя искать без предварительной очистки экспертных данных от факторов, мнения по которым резко разошлись, и от мнения тех экспертов, которое по большинству факторов не совпадает с мнением остальных экспертов. При Читать далее
Пример 5. Экспертным методом ВКВ выделить наиболее влияющие на годную продукцию факторы технологического процесса производства кристаллов интегральных микросхем для последующего математического моделирования оптимизации этого техпроцесса.
Ранжирование объектов сравнения с помощью любых экспертных методов обязательно включает в себя процедуру проверки правильности полученных результатов. Для этой цели служит коэффициент конкордации (согласия) экспертов, который показывает степень однородности (одинаковости) мнений различных специалистов. Этой же цели служит и применение критерия Кохрена, с помощью которого оценивается однородность мнений по каждому конкретному объекту. Все эти меры направлены Читать далее
Пример 6. Оценить объективную правильность ранжировки по результатам экспертизы в Пимере 5. Р е ш е н и е: Выражение (4.25) преобразуем к виду ln n(r)=ln A —g ln r , откуда, подставляя значения величин из итоговой таблицы примера 5, найдем ln 34,6=ln A —g ln 1; ln 24,6=ln A —g ln 2; ln 17,2=ln Читать далее
Оптимизация технологического процесса производства любой продукции содержит важный этап – определение (отыскание) математической модели – уравнения связи выходного показателя качества изделия (целевой функции, параметра оптимизации) с параметрами этого изделия или технологического процесса (входными факторами). Модель – это упрощённая система, отражающая отдельные стороны явлений изучаемого объекта. Каждый изучаемый процесс можно описать различными моделями, при этом ни Читать далее
Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объектах, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных, о способах использования полученных результатов для оптимизации исследуемых объектов (например, технологических процессов производства массовой продукции). Математический аппарат теории планирования эксперимента построен на сочетании методов Читать далее
За фактор принимают контролируемую величину объекта (изделия, процесса, операции), то есть величину, характеризующую то или иное свойство объекта или режим технологического оборудования. Эта величина, числовое значение которой измеряется в пределах (границах) изменения, должна влиять на параметр оптимизации. При определении величин количественных оценок во внимание должны приниматься только те факторы, которые имеют чёткий метрологический смысл (возможность Читать далее
Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях (рис. 5.1). Число этих комбинаций N=2n определяет тип планирования. Для гарантированного получения единственного решения системы нормальных уравнений необходимо иметь ортогональную матрицу планирования, что невозможно обеспечить в абсолютной системе единиц факторов Xi то есть Читать далее
Матрица планирования должна отвечать следующим условиям: 1. Ортогональность ; 2. Условие нормальности ;
Перед реализацией плана на объекте необходимо произвести рандомизацию – с помощью таблицы равномерно распределённых случайных чисел (табл. П.6) определить последовательность реализации матрицы планирования в каждой из m серий опытов. Для этого в качестве начала выбирается любое число из табл. П.6 и записывается в столбец k1 из табл. 5.2 на место g=1. Остальные места этого столбца Читать далее
Пример матрицы планирования, принципы её реализации и последующей обработки экспериментальных данных приведён в табл. 5.2. на базе трёхфакторного эксперимента. В разделе «Матрица планирования эксперимента» включены не только относительные переменные xi, комбинация которых и является собственно настоящей матрицей планирования, но и их парные и тройные взаимодействия, значение которых необходимо лишь на этапе обработки экспериментальных данных.
Статистическая незначимость коэффициента bi может быть обусловлена следующими причинами: 1. уровень базового режима близок к точке частного экстремума по переменной Xi или по произведению переменных; 2. шаг варьирования DXi выбран малым;
Пример 1. Методом ПФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов. Р е ш е н и е: После консультации с экспертами и некоторых предварительных исследований было определено, что на величину сопротивления напыляемых резисторов могут оказать влияние следующие факторы:
Полный факторный эксперимент целесообразно использовать при сравнительно небольшом числе факторов (обычно не больше 5), в противном случае число вариантов варьирования N=2n становится непомерно большим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинстве практических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то и второго), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне много степеней Читать далее
Пример 2. Методом ДФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов. Р е ш е н и е. Воспользуемся результатами примера 1 и положим в качестве генерирующего соотношения равенство x1=x2x3 (т.к. b23=0). Тогда матрица планирования и результаты эксперимента (опуская промежуточные данные) будут выглядеть так g x0 x1 x2 x3 ()2 1 + + — — 17,34 Читать далее
Статистические методы планирования эксперимента представляют собой один из способов получения математического описания сложных объектов управления в виде некоторого полинома Ранее были изложены методы построения линейных и неполных квадратичных математических моделей с использованием ПФЭ и ДФЭ.
Для исключения дискретного (ступенчатого) дрейфа обычно матрицу эксперимента разбивают на ортогональные блоки – группы опытов, а пределах которых величина дрейфа постоянна (выполняется условие стационарности внутри блоков) и меняется лишь при переходе от блока к блоку. Разбиение проводится с учётом требования ортогональности вектор-столбцов планирования как между собой, так и к вектору дрейфа, в пределах каждого блока. Читать далее
При непрерывном временном дрейфе влияние управляемых переменных на выходную величину Y заметно сказывается при переходе от опыта к опыту. Простейшим случаем непрерывного дрейфа является линейный дрейф. Планирование эксперимента ортогонально к линейному дрейфу проводится с помощью матрицы планирования ПФЭ типа N=2n, что оказывается возможным, если при каждом последующем измерении составляющая линейного дрейфа изменяется на одну и Читать далее
Планы типа 2n удобно применять в тех случаях, когда дрейф, представленный функцией времени, можно свести к линейной зависимости соответствующим преобразованием переменной t. Задача, по сути дела, сводится к определению последовательности интервалов {Dti}, через которые нужно проводить измерения, такой, что составляющая дрейфа от опыта к опыту изменяется на одну и ту же величину DYt. Наиболее удобно Читать далее
Пример 3. Найти математическую модель процесса напыления резисторов с учётом дискретного дрейфа. Р е ш е н и е. По условиям примера 1 ясно, что состояние испарителя – "чистое" и "грязное" – есть типичный образец дискретного дрейфа – процесс напыления может идти либо в одном, либо в другом случае. Поскольку матрица-план эксперимента строится на основе Читать далее
Применение описанных выше методов математического моделирования полностью оправдало себя в лабораторных условиях при сравнительно небольшом числе факторов. Однако перенос этих методов в цеховые условия, где число факторов резко возрастает, а предпосылки регрессионного анализа, описанные в разделе 5.1, не всегда или не полностью выполняются, встретил значительные трудности. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Планирование отсеивающих экспериментов вообще, и МСБ в частности, делается сверхнасыщенным, то есть число опытов может быть меньше числа исследуемых эффектов (входных параметров и их парных взаимодействий). Формально это означает, что число степеней свободы становится отрицательной величиной. При этом, разумеется, нельзя дать количественной оценки всем коэффициентам регрессии, но этого и не требуется при проведении отсеивающих экспериментов. Читать далее
На следующем этапе полученный экспериментальный материал анализируется с помощью диаграмм рассеивания результатов наблюдений по отдельным факторам (рис. 5.4). С этой целью для каждого исследуемого фактора на графике проводится своя ордината. Слева от нее отмечаются точками те значения выходной величины Y, которые соответствуют положению данного фактора на нижнем уровне варьирования (знак "-" в соответствующем столбце матрицы Читать далее
Поскольку общим требованием всех факторных планов является независимость (некоррелированность) факторов, то прежде всего следует обычными методами (см. раздел 2) проверить их на корреляционную связь и использовать в списке факторов для первоначального планирования только некоррелированные факторы. Затем следует проверить вторую общую предпосылку о нормальном законе распределения выходного показателя Y. Если он не подчиняется этому закону, то Читать далее
Если из матрицы планирования изъять столбцы, соответствующие незначимым факторам, то новая матрица планирования, как правило, перестаёт быть сверхнасыщенным планом. Кроме того, у новой матрицы появляются совпадающие строки. Такие строки необходимо совместить. Практически это означает появление в столбце результатов неодинакового количества измерений, или, другими словами, строки матрицы планирования имеют разные объемы выборок результатов mj. Поскольку исходный Читать далее
Поиск значимых факторов целесообразно начать с линейных значений (столбцов табл. 5.9) по формулам (5.30), (5.31) и (5.32) в силу неодинакового количества плюсов и минусов в этих столбцах. Необходимо отметить, что при машинной обработке результат дадут все 42 фактора, а при ручной обработке нет необходимости тратить время и силы на обработку всех 42 факторов, а только Читать далее
Полный факторный экстримент типа N=2n, описанный в разделе 5.2, дает неполную квадратичную модель, которая хорошо описывает исследуемый объект (процесс) в области, далекой от экстремума, но которая становится непригодной по мере приближения базовой точки к экстремуму. В этой экстремальной области в модели необходимо наличие членов при квадратах факторов , то есть оценки коэффициентов bii. Если иметь Читать далее
Для понимания сути построения плана ПФЭ типа N=3n рассмотрим сначала одномерный случай. Пусть в трех точках фактора x (крайние отстоят от центральной на равном расстоянии) проведены измерения параметра оптимизации и получены величины y1, y2, и y3 соответственно (рис 6.3). Тогда для получения параболической гитерполяции типа y=a+bx+cx2 из геометрических особенностей чертежа можно вывести следующие решения:
